第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合及其运算
考点一 集合的基本概念
(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，
x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( A )
A．9 C．5
B．8 D．4
解析：本题主要考查集合的含义与表示．
由题意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，
故集合A中共有9个元素，故选A.
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( D )
9A.2
C．0
9B.8 9
D．0或8 解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根，
2
当a＝0时，x＝3，符合题意；
9
当a≠0时，由Δ＝(－3)－8a＝0，得a＝8，
2
9
所以a的取值为0或8. 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的
元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( B )
A．3 C．5
解析：a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，
则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4，故选B.
B．4 D．6
5??
(2)已知集合A＝{m＋2,2m＋m}，若3∈A，则log2 018?m＋2?的值
??
2
为0 .
解析：因为3∈A，所以，m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3. 此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去； 当2m2＋m＝3时，
3
解得m＝－2或m＝1(舍去)．
31
当m＝－2时，m＋2＝2≠3符合题意． 5??3
??m＋所以m＝－2，log2 018
2?＝log2 0181＝0. ?
考点二 集合间的基本关系
角度1 两集合间基本关系的判断
(2019·西安一模)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝
ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M与集合N的关系是( B )
A．M＝N B．NM C．M?N D．M∩N＝?
解析：因为M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M， 且a≠b}，所以N＝{－1,0}，于是NM. 角度2 利用集合间关系求参数
(2019·郑州调研)已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，
集合B＝{x|m＋1 4] . 解析：A＝{x|x2－5x－14≤0}＝[－2,7]． 当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠?时，若B?A，如图． m＋1≥－2，?? 则?2m－1≤7，??m＋1＜2m－1， 解得2＜m≤4. 综上，m的取值范围为(－∞，4]． 【条件探究】 若将本典例中的集合A改为A＝{x|x2－5x－14>0}，其他条件不变，则m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞) . 解析：A＝{x|x2－5x－14>0}＝{x|x<－2或x>7}． 当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠?时，若B?A， ???m＋1＜2m－1，?m＋1＜2m－1，则?或? ?m＋1≥7???2m－1≤－2. 解之得m≥6. 综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)． (1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不 含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法． (2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集． (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数 轴、图示法来解决这类问题． 提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． ???kππ (1)(2019·烟台调研)已知集合M＝?x?x＝4＋4，k∈Z?，集合N ??????kππ ＝?x?x＝8－4，k∈Z?，则( B ) ??? A．M∩N＝? C．N?M B．M?N D．M∪N＝M ????2k＋4?ππ解析：由题意可知，M＝?x?x＝－4，k∈Z8??????2nππ ＝?x?x＝8－4，n∈Z?， ??? ????2k－1?ππ2kππ N＝?x?x＝－或x＝－4，k∈Z848??? ?? ? ?? ?? ?， ?? 所以M?N，故选B. ??3??322 ???，?，2y＝x－x＋1，x∈(2)已知集合A＝{yB＝{x|x＋m≥1}，2?4??? 3??3?? ???若A?B，则实数m的取值范围是－∞，－4∪4，＋∞? . ???? 3???3?7 解析：因为y＝?x－4?2＋16，x∈?4，2?， ? ? ? ? ?7? 所以y∈?16，2?. ?? 7 又因为A?B，所以1－m2≤16， 33 解得m≥4或m≤－4.
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