2010年高考数学知识点复习
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、选择题
1.下列命题中是真命题的是( )
A.{?}是空集 B.{x∈N||x-1|＜3}是无限集 C.空集是任何集合的真子集 D.x2-5x＝0的根是自然数 解析:A中,{?}的元素是?;B中,集合元素是-1,0,1,2,3;C中,空集是任何非空集合的真子集;D中,x2-5x＝0的根是0和5,是自然数. 答案:D
2.下列全称命题中,真命题的个数是( ) ①任意的指数函数都是单调函数 ②任意的对数函数都是单调函数
③对任意实数a,b,不等式|a|-|b|≤|a-b|成立
A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由全称命题的真假判断方法的运用知①②③都正确,故选D. 答案:D
3.给出如下三个命题:
①四个非零实数a,b,c,d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc; ②设a,b∈R,且ab≠0,若
ab＜1,则＞1; ba③若f(x)＝log2x,则f(|x|)是偶函数.
其中不正确的命题是( )
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③ 解析:对于①,可举反例,如a,b,c,d依次取值为1,4,2,8,故①错;对于②,可举反例,如a,b异号,虽然＜1,但
abb＜0,故②错;对于③,y＝f(|x|)＝log2(|x|),显然y＝f(|x|)为偶函数,故③正确,选B. a答案:B
4.设α,β为两个不同的平面,l、m为两条不同的直线,且l?α,m?β,有如下两个命题:①若α∥β,则l∥m;②若l⊥m,则α⊥β,那么( )
A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题
解析:①若α∥β,直线l和m可以平行,也可以异面,②若l⊥m,l与m可以异面垂直,此时平面α可以与平面β平行,故选D. 答案:D
5.下列特称命题中,真命题的个数是( ) ①存在一个实数a,使a为正整数 ②存在一个实数x,使
10x为正整数
③存在一个实数y,使11y为整数
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:对于①,当a＝4时, ＝1时,11a?2为正整数;对于②,当x＝1时,
10x?1为正整数;对于③,当y
y?1为整数,故选D.
答案:D
6.给出下列三个命题:①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱;②若直线l⊥平面α,l∥平面β,则α⊥β;③命题“异面直线a,b不垂直,则过a的任一平面与b都不垂直”的否命题.其中正确的命题是( )
A.② B.①③ C.①② D.②③ 解析:此类题目应对所给命题逐个判断,若是真命题,给出简单推论,若是假命题,只要举出反例即可,对于①,若底面为菱形,则不是正棱柱;对于③,其命题的否命题为异面直线a,b垂直,则过a的任一平面与b都垂直,明显是假命题,综上所述,只有②是正确的命题,故选A. 答案:A 二、填空题
7.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数列{an}有下列三个命题: ①若{an}既是等差数列又是等比数列,则an＝a n+1(n∈N*); ②若Sn＝an2+bn(a,b∈R),则{an}为等差数列; ③若Sn＝1-(-1)n,则{an}是等比数列.
这些命题中正确命题的序号是__________.
解析:说明命题为真命题需证明,说明一个命题为假命题,只需举一个反例,主要考查判断命题真假的方法.
(1)∵{an}为等差数列,设公差为d,则由题意an-d、an、an+d为等比数列, ∴an2＝(an-d)(an+d).∴d＝0. ∴①正确.
(2)当n＝1时,a1＝S1＝a+b;当n≥2时,an＝Sn-Sn-1＝2an-a+b;∵n＝1适合上式, ∴an＝2an-a+b.
而a n+1-an＝2a(常数),∴{an}为等差数列. ∴②正确.
(3)同(2)得an＝(-1)n-1·2,而
an?1??1(常数),∴{an}是等比数列.∴③正确. an答案:①②③ 8.下列三种说法:
①命题“?x∈R,使得x2+1＞3x”的否定是“?x∈R,都有x2+1≤3x”; ②设p、q是简单命题,若“p∨q”为假命题,则“?p∧?q”为真命题; ③把函数y＝sin(-2x)(x∈R)的图象上所有的点都向右平移sin(?2x??个单位即可得到函数y＝8?4)(x∈R)的图象.其中正确说法的序号是_________.
解析:本题考查了存在性命题的否定写法,真值表的应用,以及三角函数的图象及其性质. 答案:①②③
9.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题,若函数f(x)＝3+log2x的图象与g(x)的图象关于______________对称,则函数g(x)＝______________.(注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形)
解析:运用函数图象关于x轴(或y轴或原点或直线y＝x)等对称原理可得出相应答案,本题是一个开放性问题.
方法一:将y＝f(x)中的y用-y代替,即得关于x轴对称的图象的解析式;将y＝f(x)中的x用-x代替,得关于y轴对称的图象的解析式;将y＝f(x)中的x,y对换,得关于直线y＝x对称的图象的解析式.
方法二:设点P(x0,y0)在f(x)的图象上,P关于x轴的对称点为M(x,y),则y0＝f(x), ① x0＝x,y0＝-y, ② 把②代入①,得y＝-f(x)＝-3-log2x.(其余情况仿此解之,学生自己完成) 答案:x轴 -3-log2x 三、解答题
10.若R(x):sinx+cosx＞m,s(x):x2+mx+1＞0,如果对x∈R,R(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取值范围.
解:由于sinx+cosx＝2sin(x??4)∈［?2,2］,如果对任意的x∈R,r(x)为假命题,即对任
意的x∈R,不等式sinx+cosx＞m恒不成立,则m≥2.又对任意的x∈R,s(x)为真命题,即对任意的x∈R,不等式x2+mx+1＞0恒成立,所以Δ＝m2-4＜0,即-2＜m＜2.故如果对任意的x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,应有2≤m＜2.
11.指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假. (1)对任意a＞0且a≠1,y＝ax的图象恒在x轴上方; (2)对任意实数x1,x2,若x1＜x2,则tanx1＜tanx2; (3)?T∈R,使|sin(x+T)|＝|sinx|; (4)?x∈R,使x2+1＜0.
解:(1)(2)是全称命题,(3)(4)是特称命题. (1)∵ax＞0(a＞0,a≠1)恒成立, ∴命题(1)是真命题.
(2)存在x1＝0,x2＝π,x1＜x2,但tan0＝tanπ, ∴命题(2)是假命题.
(3)y＝|sinx|是周期函数,π就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题.
(4)对任意x∈R,x2+1＞0, ∴命题(4)是假命题.
12.已知a＞0且a≠1.设P:关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0},Q:函数y＝lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果P和Q有且仅有一个正确,求a的取值范围. 解:若P真,则0＜a＜1;若P假,则a≥1,若Q真,由?得a＞
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11;若Q假,则0＜a≤. 221;当P假Q真时,a≥1. 2又P和Q有且仅有一个正确,当P真Q假时,0＜a≤综上,得a∈(0,
1］∪［1,+∞). 2
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