2017西安铁路职业技术学院高职单招考试模拟试卷一 数学
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 参考公式：锥体体积公式V=
1Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。 3^
线性回归方程y?bx?a中系数计算公式b?^^^?(x1?x)(y1?y)i?1n?(x1?x)i?1n,a?y?b
^^2 样本数据x1,x2,……，xa的标准差，其中x,y表示样本均值。
21?(x1?x)2?(x2?x)?(xn?x) n
n?1n?2n?2n?1N是正整数，则an?bn?(a?b)(a?ab?……ab?b)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则 A．-i B．i C．-1 D．1 2．已知集合A=(x,y)x,y为实数，且x?y?1，B=(x,y)x,y为实数，且x?y?1则A?B的
元素个数为
A．4
22 B．3 C．2 D．1
3．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若?为实数，（(a??b)∥c），则?=
A．
1 4B．
1 2C．1 D．2
4．函数f(x)?
1?lg(1?x)的定义域是 1?x
B．（1，+?） D．（-?，+?） B．（1， +?） D．(??,?)?(1,??)
A．(??,?1)
C．（-1，1）∪（1，+∞）
5．不等式2x2-x-1>0的解集是
A．(?1,1) 2
C．（-?，1）∪（2，+?）
121 / 12
?0?x?2?6．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式?x?2 给定，若M（x，y）为D上的
??x?2y动点，点A的坐标为(2,1)，则z=OM·OA的最大值为
A．3
B．4
C．32
D．42 7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正
五棱柱对角线的条数共有 A．20 B．15 C．12 D．10 8．设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，
则该几何体体积为
A．43
B．4
C．23
D．2
10．设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(fog)(x)和(f?x)(x)；
对任意x ∈R，（f·g）（x）=f(g(x))；（f·g）（x）=f(x)g(x)．则下列恒等式成立的是
A．((fog)?h)(x)?((f?h)o(g?h))(x) B．((f?g)oh)(x)?((foh)?(goh))(x) C．((fog)oh)(x)?((foh)o(goh))(x) D．((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x)
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 11．已知{an}是同等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=______
2 / 12
12．设函数f(x)?xcosx?1,若f(a)?11,则f（-a）=_______
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到
5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系： 1 2 3 4 5 时间x 命中率
0．4 0．5 0．6 0．6 0．4 小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮
球6小时的投篮命中率为________．
（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）
3???5cos?14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为?（0??
?y?sin?52?x?t?，它们的交点坐标为 。 4（t?R）???y?t
15．（集合证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分为12分）
已知函数f(x)?2sin(x?（1）求f(0)的值；
13?6)，??R。
（2）设?,??0,?106???????，f（3）=,f（3+2）=．求sin（? ?）的值 ?22135??17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得
成绩，且前5位同学的成绩如下： 1 2 3 4 5 编号n 成绩xn 70 76 72 70 72 （1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s; 3 / 12
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。 18．（本小题满分13分） 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿
?''?'''??,CE的中点，O1,O1',O2,O2切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为CDD,DE,D分别为CD,C'D',DE,D'E'的中点． （1）证明：O1,A,O2,B四点共面；
''''''''''（2）设G为A A′中点，延长\\AO1到H′，使得O1H?AO1．证明：BO2?平面HBG
''
19．（本小题满分14分） 设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的单调性。 20．（本小题满分14分）
设b>0，数列?an}满足a1=b,an?（1）求数列?an
nban?1(n≥2)
an?1?n?1?的通项公式；
n?1
（2）证明：对于一切正整数n，2an?b21．（本小题满分14分）
+1
在平面直角坐标系xOy中，直线l:x??2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求HO+HT的最小值，并给出此时点H的坐标； （3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的
4 / 12
斜率k的取值范围。
5 / 12
参考答案
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分。 A卷：1—5DBCBA 6—10CADCB
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共5小题，每小题5分，满分20
分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题。
?25?11．2 12．-9 13．0.5，0.53 14．?1,??? 15．7：5 5??三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分12分）
解：（1）f(0)?2sin?????? 6??
??2sin?6??1；
（2）Q10???1???????f?3????2sin???3??????2sin?, 132?2?6???3?
6?????1??f(3??2?)?2sin??(3??2?)???2sin?????2cos?, 56?2??3?
?sin??53,cos??, 1352
12?5??cos??1?sin2??1????,
13?13?4?3?sin??1?cos??1????,
5?5?22
故sin(???)?sin?cos??cos?sin??5312463????. 1351356517．（本小题满分13分）
16解：（1）Qx??xn?75
6n?1?x6?6x??xn?6?75?70?76?72?70?72?90,
n?15
161s??(xn?x)2?(52?12?32?52?32?152)?49，
6n?162 ?s?7.
（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：
6 / 12
{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，
故所求概率为25.
18．（本小题满分13分）
证明：（1）QA,A?分别为CD?,C??D?中点，
?O1?A?//O1A
连接BO2
Q直线BO2是由直线AO1平移得到
?AO1//BO2
?O1?A?//BO2
?O1?,A?,O2,B共面。
（2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接HO1?,HB,H?H ?由平移性质得O1?O2?=HB
// ?BO2?//HO1?
QA?G?H?O?1?,H?H?A?H?,?O1?H?H??GA?H??2
??GA?H???O1?H?H ??H?O1?H?GH?A??2
?O1?H?H?G ?BO2??H?G
QO1?O2??B?O2?,O1?O2??O2?O2,B?O2??O2?O2?O2? ?O1?O2??平面B?BO2O2? ?O1?O2??BO2? ?BO2??H?B?
QH?B??H?G?H?
?BO2??平面H?B?G.
7 / 12
19．（本小题满分14分）
解：函数f(x)的定义域为(0,??).
f?(x)?2a(1?a)x2?2(1?a)x?1x,
当a?1时,方程2a(1-a)x2?2(1?a)x?1?0的判别式
??12(a?1)???a?1?3??.
①当0?a?13时,??0,f?(x)有两个零点， x12a?(a?1)(3a?1)1?2a(1?a)?0,x1(a?1)(3a?1)2?2a?2a(1?a) 且当0?x?x1或x?x2时,f?(x)?0,f(x)在(0,x1)与(x2,??)内为增函数； 当x1?x?x2时,f?(x)?0,f(x)在(x1,x2)内为减函数；
②当
13?a?1时,??0,f?(x)?0,所以f(x)在(0,??)内为增函数；
③当a?1时,f?(x)?1x?0(x?0),f(x)在(0,??)内为增函数；
④当a?1时,??0,x1(a1?2a??1)(3a?1)2a(1?a)?0, x12?2a?(a?1)(3a?1)2a(1?a)?0,所以f?(x)在定义域内有唯一零点x1，
且当0?x?x1时,f?(x)?0,f(x)在(0,x1)内为增函数；当x?x1f?(x)?0,f(x)在(x1,??)内为减函数。
f(x)的单调区间如下表：
0?a?11a?1
3 3?a?1 (0,x1)
(x1,x2)
(x2,??)
(0,??)
(0,x1)
(x1,??)
（其中x1?1(a?1)(3a?1)1(a?1)(3a?1)2a?2a(1?a),x2?2a?2a(1?a)） 20．（本小题满分14分）
8 / 12
，
时
解：（1）由a1?b?0,知an?nban?1?0
an?1?n?1
n11n?1?? anbban?1令An?
n1,A1?, anb
当n?2时,An?11?An?1 bb111??L?n?1?n?1A1 bbb111??L?n?1?n. bbb
1?1?1???bn?1b?bn??n①当b?1时,An? 1b(b?1)1?b②当b?1时，An?n.
?nbn(b?1),b?1? ?an??bn?1?1,b?1?2nbn(b?1)n?1?b?1, （2）当b?1时,(欲证2an?nb?1
只需2nb?(bnn?1bn?1?1))
b?1
Q(bn?1bn?1?1)?b2n?b2n?1?L?bn?1?bn?1?bn?2?L?1
b?1
111???bn?bn?n?bn?1?n?1?L?b??
b?bb??bn(2?2?L?2) ?2nbn,
2nbn(b?1)?2an??1?bn?1. nb?19 / 12
n?1综上所述2an?b?1.
21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，
Q?MPQ??AOP,?MP?l,且|MO|?|MP|.
因此x2?y2?|x?2|,即
y2?4(x?1)(x??1).
①
另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。
QMQ为线段OP的垂直平分线，
??MPQ??MOQ.
又Q?MPQ??AOP,??MOQ??AOP. 因此M在x轴上，此时，记M的坐标为(x,0).
为分析M(x,0)中x的变化范围，设P(?2,a)为l上任意点(a?R). 由|MO|?|MP|
（即|x|?
(x?2)2?a2）得，
1x??1?a2??1.
4故M(x,0)的轨迹方程为
y?0,x??1
②
综合①和②得，点M轨迹E的方程为
?4(x?1),x??1, y??0,x??1.?2（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：
10 / 12
E1:y2?4(x?1)(x??1)；
E2:y?0,x??1.
当H?E1时，过Ｔ作垂直于l的直线，垂足为T?，交E1于D??再过H作垂直于l的直线，交l于H?. 因此，|HO|?|HH?|（抛物线的性质）。
?3?,?1?。 ?4?
?|HO|?|HT|?|HH?|?|HT|?|TT?|?3（该等号仅当H?与T?重合（或H与D重合）时
取得）。
当H?E2时，则|HO|?|HT|?|BO|?|BT|?1?5?3. 综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为???3?,?1?. ?4? （3）由图3知，直线l1的斜率k不可能为零。
设l1:y?1?k(x?1)(k?0). 故x?
41?4?(y?1)?1,代入E1的方程得：y2?y???8??0.
kk?k?2
16?4??4?因判别式??2?4??8????2??28?0.
k?k??k?所以l1与E中的E1有且仅有两个不同的交点。
11 / 12
又由E2和l1的方程可知，若l1与E2有交点， 则此交点的坐标为?
k?11?k?1?,0?,且??1.即当??k?0时,l1与E2有唯一交点
k2?k??k?1?,0?，从而l1表三个不同的交点。 ?k??
因此，直线l1斜率k的取值范围是(??,?]?(0,??).
1212 / 12
相关推荐：
loading