2015年高考数学理真题分类汇编：专题03 导数 Word版含解析

答：当t?102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米． 【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义

【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值. 11.【2015高考山东，理21】设函数f?x??ln?x?1??ax2?x，其中a?R. （Ⅰ）讨论函数f?x?极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若?x?0,f?x??0成立，求a的取值范围.

【答案】（I）：当a?0 时，函数f?x?在??1,???上有唯一极值点； 当0?a?当a???8时，函数f?x?在??1,???上无极值点； 98时，函数f?x?在??1,???上有两个极值点； 9（II）a的取值范围是?0,1?.

（2）当a?0 时， ??a?8a?1?a??a?9a?8?

2①当0?a?8时，??0 ，g?x??0 9所以，f??x??0，函数f?x?在??1,???上单调递增无极值；

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②当a?8 时，??0 9设方程2ax2?ax?1?a?0的两根为x1,x2(x1?x2), 因为x1?x2??所以，x1??1 211,x2?? 441, 4由g??1??1?0可得：?1?x1??所以，当x???1,x1?时，g?x??0,f??x??0 ，函数f?x?单调递增； 当x??x1,x2?时，g?x??0,f??x??0 ，函数f?x?单调递减； 当x??x2,???时，g?x??0,f??x??0 ，函数f?x?单调递增； 因此函数f?x?有两个极值点． （3）当a?0 时，??0 由g??1??1?0可得：x1??1,

当x???1,x2?时，g?x??0,f??x??0 ，函数f?x?单调递增； 当x??x2,???时，g?x??0,f??x??0 ，函数f?x?单调递减； 因此函数f?x?有一个极值点． 综上：

当a?0 时，函数f?x?在??1,???上有唯一极值点； 当0?a?当a?8时，函数f?x?在??1,???上无极值点；9

8时，函数f?x?在??1,???上有两个极值点； 98时，函数f?x?在?0,???上单调递增， 9（II）由（I）知， （1）当0?a?因为f?0??0

所以，x??0,???时，f?x??0 ，符合题意； （2）当

8?a?1 时，由g?0??0 ，得x2?0 914

所以，函数f?x?在?0,???上单调递增，

又f?0??0，所以，x??0,???时，f?x??0 ，符合题意； （3）当a?1 时，由g?0??0 ，可得x2?0 所以x??0,x2? 时，函数f?x? 单调递减； 又f?0??0

所以，当x??0,x2?时，f?x??0 不符合题意； （4）当a?0时，设h?x??x?ln?x?1? 因为x??0,???时，h??x??1?1x??0 x?1x?1

当x?1?12 时，ax??1?a?x?0 a此时，f?x??0, 不合题意. 综上所述，a的取值范围是?0,1?

【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.

【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用，着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方法，意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力，其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解. 12.【2015高考安徽，理21】设函数f(x)?x?ax?b. （Ⅰ）讨论函数f(sinx)在(?2??,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； 22 （Ⅱ）记f0(x)?x2?a0x?b0，求函数f(sinx)?f0(sinx)在[???,]上的最大值D； 2215

a2 （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0?b0?0，求z?b?满足D?1时的最大值.

4a2

【答案】（Ⅰ）极小值为b?；（Ⅱ）D?|a?a0|?|b?b0|； （Ⅲ）1.

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【解析】

（Ⅰ）f(sinx)?sinx?asinx?b?sinx(sinx?a)?b，? [f(sinx)]'?(2sinx?a)cosx，? 因为?2?2?x??2.

?2?x??2.

?2?x??2，所以cosx?0,?2?2sinx?2.

①当a??2,b?R时，函数f(sinx)单调递增，无极值. ②当a?2,b?R时，函数f(sinx)单调递减，无极值. ③当?2?a?2，在(? ???,)内存在唯一的x0，使得2sinx0?a. 22?2?x?x0时，函数f(sinx)单调递减；x0?x??2时，函数f(sinx)单调递增.

aa2 因此，?2?a?2，b?R时，函数f(sinx)在x0处有极小值f(sinx0)?f()?b?.

24 （

Ⅱ

）

??2?x??2时，

|f(sinx?)fn?)|a|(?a0(six0)sxi?nb?0b?a|?|0a?|b?|0，b

| 当(a0?a)(b0?b)?0时，取x?

?2

，等号成立，

当(a0?a)(b0?b)?0时，取x???2，等号成立，

由此可知，函数f(sinx)?f0(sinx)在[?2??,]上的最大值为D?|a?a0|?|b?b0|.

22a2?1. （Ⅲ）D?1，即|a|?|b|?1，此时0?a?1,?1?b?1，从而z?b?4a2?1. 取a?0,b?1，则|a|?|b|?1，并且z?b?4a2 由此可知，z?b?满足条件D?1的最大值为1.

4【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

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