(2) 当导体的介电常数为ε0时在rC=2m的柱面上的面电荷分布,可由边界条件求得:
将 代入,可求得为 4-15 4-16 证明格林定理(4-110)和(4-111)两式.
解:格林第一公式为:
由高斯定理有: 由矢量公式: 有:
所以有: 格林第二公式为:
由当前所证知: 将上面两式相减,有:
证毕.
4-16导出图4-21所示的镜像关系式(4-156)和(4-157)两式.
解:该系统的边界条件为:
设:q’为导体球上感应出的感应电荷,位置为b 如图所示:
则
根据边界条件
∵cosθ是任意变量,为了保证等式两边相等,则
4-17 若在一空间V内，电位满足泊松方程，而V的外表面Ｓ＝Ｓ1+Ｓ2为一封闭表面。若
已知
证明：Ｖ内的电位Φ有唯一的解。
解：假定在区域Ｖ中，有两个不同的电位解，Φ1和Φ2，它们都满足同样的方程，即：
图4-17
而在Ｖ的边界Ｓ上，它们也满足同样的边界条件，即：
和
现在，我们来看看这样一个标量位 Φ0=Φ1-Φ2
对于满足同一泊松方程的Φ1，Φ2，由位场的叠加原理可知，Φ0的微分方程应为 也就是说，Φ0应满足拉普拉斯方程。
在边界上，因为Φ1，Φ2满足同样的边界条件，故可知Φ0满足的边界条件为： 及
∴Φ0满足的微分方程和边界条件为
现在我们应用格林第一定理，并取 则有
∴上式两项均等于０。
无文 所以，满足混合边界条件的Φ也是唯一的。
4-18已知图所示正方形网格边缘各节点的电位（单位为V），求中间4节点上的电位Ｕ1，Ｕ2，
Ｕ3和Ｕ4（精确到0.1V）
解：根据平均值定理，可知
即：
首先由正方形网格边缘的电位值可知，由极位定理，网格的电位应≥1，故先任意一组零阶解，例如选
由式（1）知：
如此继续下去，可求得： u1→3(V) u2=u3→4(V) u4→5(V)
此题的精确解应为 u1=3(V) u2=u3=4(V) u4=5(V)
4-19已知空间电位分布（图）
求：空间的电荷分布。
无文 解：由电位分布可以看出，在rs=0处，为电位的奇异点，故在rs=0处，有点电荷存
在。由 可知，电场分布为
取一个半径为ζ的小球面,球面中心位于坐标原点（rs=0）处,则由电场高斯定律: 当δ→0时
又：
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