人教版2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术-几何平均不等式优化

3 三个正数的算术-几何平均不等式

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．设x，y，z>0且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( ) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞)

D．[3lg 2，＋∞)

解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而xyz≤?

?x＋y＋z?3??

3?

＝23，

∴lg x＋lg y＋lg z≤lg 23

＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号． 答案：B

2．函数y＝x2

·(1－5x)(0≤x≤15)的最大值为( )

A.4675 B.2657 C.42645

D.675

解析：∵0≤x≤1

5，∴1－5x≥0，

∴y＝x2

·(1－5x)＝425[52x·52x·(1－5x)]

5≤42x＋5

x＋1－5x25[2343]＝675. 当且仅当5

2x＝1－5x，

即x＝2

15时取“＝”，故选A.

答案：A

3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式正确的是( ) A．V≥π B．V≤π C．V≥1

8

π

D．V≤18

π

解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝3.

V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤π?

?R＋R＋h?3??

3?

＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时

取等号．

1

答案：B

?1??1??1?4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝?－1?·?－1?·?－1?，则必有( )

?a??b??c?

1

A．0≤M<

8C．1≤M<8 解析：M＝?

1

B.≤M<1 8D．M≥8

?a＋b＋c－1?

?

?a??a＋b＋c－1?·

?b????a＋b＋c－1?＝

?c???

b＋ca＋cabca＋b8bc·ac·ab≥＝8，

abc当且仅当a＝b＝c时等号成立． 答案：D

5．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) A．y＝x＋2x＋3≥3

2

4

3

xx2·2x·3＝6，∴ymin＝6

x4

31133

B．y＝2＋x＋≥32·x·＝32，∴ymin＝32

xxx1

C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4

13x＋1－x＋1－2x38

D．y＝x(1－x)(1－2x)≤[]＝，

33818

∴ymax＝ 81

a＋b＋c33

解析：A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3abc(a，b，c∈R＋)和abc≤()(a，b，c3

11

∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋＝2＋(x＋)≥2＋2

xx1

＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

x答案：C

12

6．若x>0，则函数y＝4x＋的最小值是________．

x解析：∵x>0，

11122

∴y＝4x＋＝4x＋＋ x2x2x3≥3

112

4x··＝3.

2x2x2

12

当且仅当4x＝(x>0)，

2x1

即x＝时，取“＝”，

21

∴当x＝时，

2

y＝4x2＋(x>0)的最小值为3.

x答案：3

7．若a>2，b>3，则a＋b＋

1

1

a－2b－3

的最小值为________．

解析：∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0， ∴a＋b＋

1

a－2b－3

1

＋5 1

＝(a－2)＋(b－3)＋

3≥3

a－2b－3

a－2·b－3·

a－2b－3

＋5

＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时等号成立)． 答案：8

8．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________． 解析：设底面边长为x，高为h，则 32

x·h＝V， 4

43V所以h＝2，

3x又S表＝2·＝＝

32

x＋3xh 4

3243V343Vx＋3x·2＝x2＋ 23x2x3?28V?324V4V?x＋?＝?x＋＋? ?x?2?xx?2??33322

×316V＝33×2V， 2

≥

4V32

当且仅当x＝，即x＝4V时，S表最小．

x 3