《高校自主招生一数学》 贾广素工作室
2017年清华大学自主招生
暨领军计划试题解析
已知-?根绳子放在数轴的[0?斗」区阳丄二线密度二皿-护.求绳子的质屋- 解答加
y+ isin ^,/(x) = xz十龙+若则f (川)几』〉的值为
解答 件先冇
cos 単十 i iin 4?
5
二(cos警cos夸一 sin 警sin 弩: + i^cos ^sin 警 + sin 警cos 弩 二 cos + isin
再I ] i归纳法，可得3 警+ Tn警,
1 E.世到 ttJ-' = 1,则 cw1 — w-' TW\ - C4J_'：7W + ru_l — 2 COS 〒 T tv ' + ⑴ 二 2cCrS 号.战
/(tw )/(a/ )f( OJ? )/(oi1)
/(w)/(w_1 )/(w2 )/(?\
(4?十 W 十 2)(^~ 十 J 十 2)(^ 十 y + 2)(W_1 + 胪 + 2) (1 十洞十
22^ + w-] + 1 + 2M + 2w a 十 2w l + 4)(1 十 4 2^ + OJ-2 + 1 + 2^ + 2^ + 2M_r + 4)
(6 + Gcos^ + 4cos 警)(6 + g 警 + Seos 警)
(6 + ficos y - 4tos yj(6 + 4cOH 弩-5
-75-l)(6 + ?5- 1
? 1?
E 阮、
(6 - 6孕
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、
4
? 1?
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4
=11.
若 0「门 +flCOS（A：-l）= 0 有唯--解,则（
A.
C门的值不存在
厲的值唯? B. 口的值不唯一
D.以上都不对
解答选A.
因为f （兀）=217 +acos（A：-l）关于x = l对称,所以若f（x）^唯一零点,则零点只 能为1.将兀=1彳弋入，得到a = T,此时f（x） =2|x_11 -cos（x-l）,^检验? = -1符合 题意\
04
已知皿1 *2 ,衍皿&� ｛1、Z，3,4：｝ 心）的平均值为（
A- 32
,口3皿4》为口I ■吐.心皿4中不同数字的
种类哀如N（1J23） =3,N（122,1｝二2,求所有的256个（血心gg）的排列所得 7V（\山2 ,如■
）.
175 64
解答选D-
N 5\\心、a3心）为1的个数为4；
N（心?如，為虫J为2的个数为CS（CS+2Q） = 84； N（尙0 心皿Q为3的个数为二144*
N （Q i *2 *麻3皿4 ）为球的个数为A] — 24.
1
17^
从而 iijfR^^6(4xi + 84X2+114X3 + 24X1) = ^.
在△/WC 中 *sinZ/l + sinz^/?sinz^C 的最大值为(
A
- i
B.
1 +75
D.无报大值
解答选E
市积化和差公式得
sin^A + sin^Bsm^C
=sin^A + y (cost^B - ZC) - cos(^B + 乙CM
-sin^A - -^COB^A + ~|~cos(Z百—乙 C) 冬 sin^A - -^-cosZ^/4 + 令
Y Is + (_ 4)
- Z卩)+ Y
? 2 ?
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在= =
+ j时取等号*
四人做一道选项为A.B，C.D的选择题?四牛同学的对话知厂
赵:我选A.
钱:我选B,GD当屮的-个一 孙古我选C 李古我选6
四个人毎人只选了…个选项川1' R倂不相同'我中貝有一个人说谥?则说谎的人町能是诽1 解答孙或李.
用列衣法?只中O代表选该选项.X代表没有选该选项一 如赵说谎?则无人选A（见表1八弟盾一
表1
A B C D 赵 X X 孙 0 O 如钱说谎,则赵、钱均选A（见表2）-矛曲.
表2
A H C 赵 O 践 O 如孙说谎.则可得如表3所示的情况:成7..
O _______ X
0
? 3 *
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如李说谎.则川'得in* 4所示的悄况?成立.
表4
A B C D 赵 钱 O X O O
0 X 07 已知 2 ? lvC?C, I 2 + IV I = 1 H, I z + H' I 二4?则 I ZW I (
2
2
A.有最大值普
解答选 注意到
B有最大值号 C有最小值另
D.有最小值号
1 - | z + w | - - | (z w)1 = \\ z w + 2zw | , 从【对冇
2221
| z2 +
| - 21 ziv | 与 I $ 21 砂 | 一 ］护 + \\沪
从而 （最小值可以取测例如辽二捋7.⑷二上尹,最大值亦可以取到’例如辽二今+寺人⑷二
-3 +丄)
2 21
往四面体PABC 而体P/W0的体积为（ ）.
A. 3 解答选C
2ZABC为等边三角形，边长为乳“二乳珂？二4./V二乳贝W四
C. /1T
D. /10
B. 2屈
件先PC = PB + BC\\故PB±反\\设P到底而的高足PH.则BC± UH ZABH = 30° 设PH = h.AH = a^H^b,CH = c ”山余弦定理得
+ A2 = 32 ? 护+护二学,
+ h2 - 5\\
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