2019届高三数学(理)大一轮复习课时作业：课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、选择题

3?π?1．已知α∈?，π?，sinα＝，则tan2α＝( ) 5?2?A.

24242424

B. C．－ D．－ 725257

3432tanα?π?解析：∵α∈?，π?，sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝－.∴tan2α＝2

5541－tanα?2?

?3?2×?－?24?4?

＝＝－. 73?2?1－?－??4?

答案：D

102sinα＋sin2α

2．已知sin(π－α)＝－，则＝( )

10π??cos?α－?4??1

A. 2C.25

5

25B．－ 5D．2

1010，∴sinα＝－. 1010

2

解析：∵sin(π－α)＝－2

2sinα＋sin2α2sinα（sinα＋cosα）

∴＝

π2??cos?α－?（sinα＋cosα）4??225

＝22sinα＝－. 5答案：B

35

3．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝( )

51363

A．－

65C.33 65

33B．－

6563D. 65

5π

解析：∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，

132

124

∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋

1355312433

β)sinα＝－×＋×＝. 13513565

答案：C

3?π??π?4．已知cos?x－?＝－，则cosx＋cos?x－?的值是( )

6?3?3??23

A．－

3C．－1

23B．± 3D．±1

?π?解析：cosx＋cos?x－?

3??

1333

＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx 2222＝3?

1?3??π?cosx＋sinx?＝3cos?x－6?＝－1.

??2?2?

答案：C

5．已知α、β都是锐角，若sinα＝A.C.π

4π3π和 44

510

，sinβ＝，则α＋β等于( ) 510

B.3π

4

π3πD．－和－

44

2531022

解析：由α、β都为锐角，所以cosα＝1－sinα＝，cosβ＝1－sinβ＝.510所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝

答案：A

3π??cos?α－?10?π?

6．(2019·重庆卷)若tanα＝2tan，则＝( )

5π??sin?α－?5??A．1 C．3

B．2 D．4

2π

，所以α＋β＝.故选A. 24

3π??3π??π???α＋π?sin?＋?α－??cos?α－?sin?10??10?5?????2?

解析：由题意可知，＝＝＝

π?π?π????sin?α－?sin?α－?sin?α－?5?5?5????

πππ3π??sinαcos＋cosαsintanα＋tancos?α－?55510?π?

＝，又tanα＝2tan，所以＝3.

πππ5π??sinαcos－cosαsintanα－tansin?α－?5555??

答案：C 二、填空题

7．sin15°＋sin75°的值是________．

解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2×答案：

6

2

36＝. 22

11

8．化简：－＝________．

1＋tanα1－tanα

－2tanα2tanα

解析：原式＝＝－＝－tan2α. 2（1＋tanα）（1－tanα）1－tanα答案：－tan2α

1?π?2

9．若α∈?0，?，且sinα＋cos2α＝，则tanα的值等于________．

2?4?

1122222

解析：由sinα＋cos2α＝得sinα＋1－2sinα＝1－sinα＝cosα＝.∵α∈

44

?0，π?，∴cosα＝1，∴α＝π，∴tanα＝tanπ＝3.

?2?233??

答案：3 三、解答题

10．(2019·广东卷)已知tanα＝2. π??(1)求tan?α＋?的值；

4??

sin2α

(2)求2的值．

sinα＋sinαcosα－cos2α－1解：(1)因为tanα＝2， π??所以tan?α＋?＝4??

2＋1

＝＝－3. π1－2×1

1－tanα·tan

4π

tanα＋tan

4

(2)因为tanα＝2，

sin2α

所以2

sinα＋sinαcosα－cos2α－1＝

2sinαcosα

2222

sinα＋sinαcosα－（cosα－sinα）－（sinα＋cosα）

2

＝＝

2sinαcosα2tanα

＝ 222

sinα＋sinαcosα－2cosαtanα＋tanα－22×2

＝1.

2＋2－2

2

π?1π4?11．已知，0<α<<β<π，cos?β－?＝，sin(α＋β)＝. 4?325?(1)求sin2β的值； π??(2)求cos?α＋?的值．

4??

π?ππ221?解：(1)解法1：∵cos?β－?＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，

4?44223?∴cosβ＋sinβ＝7

∴sin2β＝－.

9

π?7?π?2?解法2：sin2β＝cos?－2β?＝2cos?β－?－1＝－. 4?9?2??π

(2)∵0<α<<β<π，

2∴

ππ3π3π<β－<π，<α＋β<， 44422

22

，∴1＋sin2β＝， 39

π??∴sin?β－?>0，cos(α＋β)<0.

4??π?14?∵cos?β－?＝，sin(α＋β)＝， 4?35?π?223?∴sin?β－?＝，cos(α＋β)＝－， 4?35?π?π?????∴cos?α＋?＝cos?（α＋β）－?β－?? 4?4?????

π?π?3142282－3??＝cos(α＋β)cos?β－?＋sin(α＋β)sin?β－?＝－×＋×＝.

4?4?535315??

1．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，则C等于( ) A.π

3

B.D.2π 3π 4

πC．

6

tanA＋tanB

解析：由已知可得tanA＋tanB＝3(tanA·tanB－1)，∴tan(A＋B)＝＝－3，

1－tanAtanB