2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）

一、解答题（共10题；共85分）

1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an} 满足： ，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn}满足:

，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k ， 当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．

2.已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．

（1）若

，求集合 ；

（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素； （3）若集合 恰好有三个元素：

，

是不超过7的正整数，求

的所有可能的值．

3.（2019?浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3=4.a4=S3 ， 数列{bn}满足：

*

对每个n∈N ， Sn+bn ， Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式

**

（2）记Cn= ，n∈N ， 证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N

4.（2019?天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， .

（Ⅰ）求 和 的通项公式；

求 . （Ⅱ）设数列 满足

为偶数 为奇数5.（2019?天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 ?，? .

（Ⅰ）求 和 的通项公式；

其中 . （Ⅱ）设数列 满足

（i）求数列 的通项公式；

（ii）求 .

6.（2019?卷Ⅱ）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。 （1）求 的通项公式；

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（2）设 ，求数列{ }的前n项和。

7.（2019?北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列. （I）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn ， 求Sn的最小值.

8.（2019?卷Ⅱ）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， . （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式.

9.（2019?北京）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项…第im项（i1

（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（II）已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0 ， 长度为q的递增子列的末项的最小值为an0 ， 若p

（III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2个（s=1.2.…），求数列{an}的通项公式。 10.（2019?卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn=-a5 （1）若a3=4，求{an}的通项公式。

（2）若a1≥0，求使得Sn≥an的n取值范围。

s-1

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答案解析部分

一、解答题

1.【答案】 （1）解：设等比数列{an}的公比为q ， 所以a1≠0，q≠0.

． 由 ，得 ，解得

因此数列 为“M—数列”.

（2）解：①因为

，所以 ．

由 得 ，则 .

由

，得

，

，

当 时，由 ，得

整理得 ．

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n . ②由①知，bk=k ， .

因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q ， 所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1 ， 所以 ，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有 设f（x）=

．

，则 ?′

．

令 ?′ ，得x=e.列表如下： x ?′ f（x） 因为

+

e 0 极大值

(e，+∞) –

，所以

．

取 ，当k=1，2，3，4，5时， 经检验知 也成立． 因此所求m的最大值不小于5．

，即 ，

351515

若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q ， 且q≤6，从而q≥243，且q≤216，

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所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．

2.【答案】 （1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ． 当

，

集合 ．

（2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图：

根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ，

② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，如图 ， ，

此时

，

综上，

或者 ．

（3）解：①当 时， ，集合 ，符合题意．

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②当 时， ， ， ，或者 ，

等差数列 的公差 ，故 ， 当 时满足条件，此时 ．

③当 时， ， ， ，或者 ，因为 ，故 ．

当 时， 满足题意． ④当 时， ， ，

所以 或者 ， ，故 ． 当 时， ，满足题意．

，又

⑤当 时， ， ，所以 ，或者 ，

， ，故

当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ，

， ， ，不符合条件．

当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ，

， 不是整数，不符合条件．

当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 ， 综上， ．

3.【答案】 （1）设数列 的公差为d ， 由题意得 ， 解得 ． 从而 ．

由 成等比数列得 ．

． 解得

，或者

，此时， 均不是整数，不符合题意．

所以 ．

． （2）

我们用数学归纳法证明．

⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；

⑵假设 时不等式成立，即 ? ． 那么，当 时，

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