第7讲 概率统计

?? E(X)??kP{X?k}??kp(1?p)k?1，

k?1k?1令q?1?p，则

???E(X)??p??q?p???qk???p???2?k?1??1?q?(1?q)令

11p?X,得p的矩估计为p??X.

（2）p的极大似然估计：似然函数为

1p.

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nL(x1,x2,?,xn;p)?p(1?p)n?xi?ni?1，

取对数，得

nlnL(xp???1,x2,?,xn;p)?nln??xi?n?ln(1?i?1?，

再对p求导数，并令导数等于零，得

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?p),

ndlnL(x1,x2,?,xn;p)dp?npn???i?1xi?0，

1?p??解得 p1X.可见p的矩估计量和极大似然估

计量是相同的.

例4 已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2. 且P(X?2)?(1??)，

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2E(X)?2(1??)，其中?是未知参数.

（1）试求X的概率分布；（2）对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2， 2取0，求?的矩估计值和极大似然估计值.

解 设X的概率分布为P(X?0)?p0，

P(X?1)?p1，P(X?2)?p2，

又 E(X)?2(1??)?0?p0?1?p1?2p2

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个