圆锥曲线解答题3（数学）

2265、 已知圆A：(x?2)?y?25122，圆B：(x?2)?y?，动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方441

程为x＝a(a≤).

2

（Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，（1）求｜MN｜的最小值；（2）若MN的中点R在l上的射影Q满足MQ⊥NQ，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则│PA│＝r?51，│PB│=r?, 22∴│PA│－│PB│=2.

故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

y2?1（x≥1）. ???????????????3分 其方程为x?32（Ⅱ）(1)设MN的方程为x?my?2，代入双曲线方程，得

?3m2?1y2?12my?9?0.

??3m2?1?0,33?由???0,，解得?. ???????????????5分 ?m?33?yy?0?12设M?x1,y1?,N?x2,y2?,则

6m2?1?4?MN?1?my1?y2??2?1??. 221?3m?1?3m?22当m?0时,MNmin?6. ???????????????7分

??(2)由（1）知R?6m?6m??2? ，. ,Qa,??222??1?3m1?3m??1?3m?1MN. 2由MQ?NQ,知RQ?23m2?13m2?12a??1??a?所以，从而.

3m2?11?3m21?3m21?3m2??

由?33,得a??1. ???????????????13分 ?m?33另解：

(1)若MN的斜率存在，设斜率为k，则直线MN的方程为y?k(x?2)，代入双曲线方程,得

(3?k2)x2?4k2x?4k2?3?0.

?3?k2?0,????0,2?由?x?x??4k?0, 解得k2?3. ?????????????5分

123?k2??4k2?3?x1x2???0.3?k2?设M?x1,y1?,N?x2,y2?,则

MN＝1?k2│x1?x2│＝6＋

24?6.

k2?3当直线斜率不存在时，x1?x2＝2，得y1＝3，y2＝－3.此时MN＝6.

所以MNmin＝6. ?????????????????7分 (2)当MQ⊥NQ时，│RQ│＝

MN2＝xR?a.①

又

MBNBMB?NB＝＝2，即＝2 ， 11xM?xN?1xM－xN?22所以│MN│＝4xR?2， 故xR?MN?24. ②

将②代入①，得│MN│＝2－4a.

由│MN│＝2－4a?6,得a≤－1. ???????????????13分

2

66、 已知抛物线x＝4y上的点P(非原点)处切线与x、y轴分别交于Q、R点，F为抛物线的焦点。 （Ⅰ）若PQ??PR , 求?的取值范围；

（Ⅱ）若抛物线上的点A满足PF??FA .求△APR面积的最小值，并写出此时过P点的切线方程。

y t2解：（Ⅰ）设P(t,)(t?0),则PR所在直线的方程为：

4y?tt??x?t? 422A F ． Q R P x

?t2??t?令y?0得Q?,0? ,令x?0得R? 0,-???4??2???tt2??t2??PQ????2,?4?? , PR????t,?2??

?????PQ?1?1?PR ,即?的取值范围为??。 2?2?t2?1x （Ⅱ）由(Ⅰ)知PA的方程为：y?1?4t?t2?1???44?4联立?y?1?x 得点A的坐标为?-,2? t?tt??2??x?4y而S△APR11t24?RF?xP?xA?1??t? 224t1t34=?2t? 24t1?t34?显然只需考查函数f?t??? ?2t??当t?0时的最小值。??2?4t?1?34?23 因为f/?t???t2?2?2?,令f/?t??0得t?2?43t??23??23??时，f/?t??0,t???时，f/?t??0 当t??0,,????3?3?????所以f?t?当且仅当t??23?16323??时取得最小值f? ??339??1t3423163 又因为时，也取得最小值 。 ?2t?是关于t的偶函数，同样当t??924t3 故此时过P点的切线PR的方程为：

y?313x? 或y?—x?1 33367、 如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使

得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B?；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式EM?EB?EB?。若以

B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：

（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边

A1B1,B1C1,C1D1分别与曲线S切于点P,Q,R.求梯形A1B1C1D1面积

的最小值.

解：（1）如图，设M（x,y），B(x0,2)，又E（0，b）

显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则

/y A 错误！D kBB/?/x21???k??0 x0k2E 错误！未找到引用源。x而BB的中点(0,1)在直线l上，

22x0x0x0?b?1?b?1?，① 故(?)?224l B O C x ?x?x0x2?1，又由于EM?EB?EB??(x,y?b)代入①即得y???(?0b,?)x0(?b,2??)4y?2?b?0?x0?2

x2?1（0?x?2）-------------6分 点M的轨迹方程y??4x2?1(?2?x?2) （2）易知曲线S的方程为y??4设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐标为(t,?12t?1)(0?t?2). 4 由题意得，点Q的坐标为(0,1)，直线B1C1的方程为y?1.

x2xt?1 ?y??? ?y?|x?t?? y??224 ? 直线A1B1的方程为y?(?即：y??12tt?1)??(x?t), 42t1x?t2?1 24t2?4t2?4,?A1(,0). 令y?0 得，x?2t2t令y?1 得，x?11t?B1(t,1) 22?

当且仅当t?11t2?42s??(t?)?1?2?t??22 222tt2，即t?2时，取“=”且2??0,2?， t