§6.4 数列求和
（时间：45分钟 满分：100分）
一、选择题(每小题7分，共35分)
1*
1．在等比数列{an} (n∈N)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为( )
8
11
A．2－8 B．2－9 2211
C．2－10 D．2－11
222．若数列{an}的通项公式为an＝2＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2＋n－1 C．2
n＋1n2
n
B．2
n＋1n＋n－1
2
＋n－2
2
D．2＋n－2
3．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于( ) A．126
B．130
C．132
n－1
D．134
4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)
A．200
·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )
D．－400
B．－200 C．400
5．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为( ) 11
A.n(n＋1)(n＋2) B.n(n＋1)(2n＋1) 6611
C.n(n＋2)(n＋3) D.n(n＋1)(n＋2) 33二、填空题(每小题6分，共24分)
6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2－1，则a1＋a2＋…＋an＝________.
7．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝__________.
?1?
?的前n8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?
?bnbn＋1?
n2
2
2
项和Sn＝________.
9．设关于x的不等式x－x<2nx (n∈N)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 三、解答题(共41分)
10．(13分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N满足关系式
2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的
log3an·log3an＋1正数n，总有Tn<1.
*
2
*
11．(14分)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差
中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
1n＋1
(2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2>50成立的最小正整数n的
2值．
12．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别
是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{an}的通项公式；
1*
(2)设bn＝ (n∈N)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任
n(an＋3)t
意的n均有Sn>总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
36答案
1.B
2.C
3.C
4.B 8.
5.A
1n6. (4－1) 3
1?3?n－1 7. ??2?4?
nn＋1
9.10 100
??2Sn＝3an－3，
10. (1)解 由已知得? (n≥2)．
?2Sn－1＝3an－1－3?
故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1 (n≥2)． 故数列{an}为等比数列，且公比q＝3. 又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3.
n111
(2)证明 ∵bn＝＝－. n(n＋1)nn＋1∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
1??1??11??1
＝?1－?＋?－?＋…＋?－? ?2??23??nn＋1?1＝1－<1.
n＋1
11解 (1)设此等比数列为a1，a1q，a1q，a1q，…，其中a1≠0，q≠0.
由题意知：a1q＋a1q＋a1q＝28，
2
3
2
3
① ②
a1q＋a1q＝2(a1q＋2)．
3
23
2
②×7－①得6a1q－15a1q＋6a1q＝0，
12
即2q－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
2
∵等比数列{an}单调递增，∴a1＝2，q＝2，∴an＝2. (2)由(1)得bn＝－n·2，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×2＋…＋n·2)． 设Tn＝1×2＋2×2＋…＋n·2，③
2
2
nnnn则2Tn＝1×2＋2×2＋…＋n·2
2
3
2
n＋1
.④
nn＋1
由③－④，得－Tn＝1×2＋1×2＋…＋1·2－n·2＝2
n＋1
－2－n·2
n＋1
＝(1－n)·2
n＋1
n＋1
－2，
∴－Tn＝－(n－1)·2∴Sn＝－(n－1)·2要使Sn＋n·2
n＋1
－2.
n＋1
－2.
>50成立， －2＋n·2
n＋1
即－(n－1)·2
4
5
n＋1
>50，即2>26.
xn∵2＝16<26,2＝32>26，且y＝2是单调递增函数， ∴满足条件的n的最小值为5.
12解 (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)，
整理得2a1d＝d.
2
2
∵a1＝1，解得d＝2，d＝0(舍)． ∴an＝2n－1 (n∈N)． (2)bn＝
11111
＝＝?n－n＋1?，
?n(an＋3)2n(n＋1)2?
*
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
1??1??1??11??1
＝??1－?＋?－?＋?－? 2??23??nn＋1?2????1?1?n＝?1－＝. ?n＋1?2(n＋1)2?
假设存在整数t满足Sn>总成立，
36
n＋1n1
又Sn＋1－Sn＝－＝>0，
2(n＋2)2(n＋1)2(n＋2)(n＋1)
t
∴数列{Sn}是单调递增的．
1t1
∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.
4364又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.
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