2021年全国硕士研究生入学统一考试参考答案(数学三)

2021年全国硕士研究生入学统一考试参考答案

数学（三）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.） (1) 当

时，

是

的

(A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小

【答案】C 【解析】当

时，

，故为高阶无穷小.

(2) 函数在处

(A) 连续且取极大值 (B) 连续且取极小值 (C) 可导且导数为 (D) 可导且导数不为 【答案】D

ex?1?1?f(0)，故f(x)在x?0处连续； 【解析】因为limf(x)?limx?0x?0xex?1?1f(x)?f(0)ex?1?x1x?lim?lim?，故正确答案为D. 因为limx?0x?0x?0x?0x?0x22(3) 设函数

有两个零点，则

的取值范围是

(A) 【答案】A 【解析】对

(B) (C) (D)

求导得，又，因此，

且驻点处的函数值必定小于，即

，解得.

(4) 设函数

(A) 【答案】C

可微， (B)

(C)

(D)

，则

【解析】f1'(x?1,e)?ef2'(x?1,e)?(x?1)?2x(x?1) ①

xxx2f1'(x,x2)?2xf2'(x,x2)?4xlnx?2x ②

分别将??x?0?x?1，?代入①②式有 ?y?0?y?1f1'(1,1)?f2'(1,1)?1， f1'(1,1)?2f2'(1,1)?2，

联立可得f1'(1,1)?0，f2'(1,1)?1，于是df(1,1)?f1'(1,1)dx?f2'(1,1)dy?dy，故正确答案为C. (5) 二次型指数依次为

(A) 【答案】B

2222【解析】f(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x3?x1)?2x2?2x1x2?2x2x3?2x1x3

的正惯性指数与负惯性

(B) (C) (D)

?011???所以二次型矩阵A??121?，故特征多项式为

?110?????1?1?E?A??1??2?1?(??1)(??3)?，

?1?1?令上式等于零，故特征值为?1,3,0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，故答案应选B.

(6) 设为阶正交矩阵，若矩阵，，表示任意

常数，则线性方程组

(A)

的通解

(B)

(C) 【答案】D

(D)

【解析】根据正交矩阵的定义，选D.

，的通解为，由解的结构定理，故

(7) 已知矩阵，若下三角可逆矩阵和上三角可逆矩阵，使为

对角矩阵，则可以分别取

(A) (B)

(C) (D) 【答案】C

【解析】由于上（下）三角方阵相乘仍为上（下）三角，故排除A、B. 对于C、D选项，可以分别计算

的第一行如下：

于是D选项不可能为对角型，故选C.