全国大学生数学竞赛真题试卷2013年03月-非数学类-第四届全国决赛试卷 

2013年第四届全国大学生数学竞赛决赛、

（非数学类）试卷

一、简答下列各题（本题25分）

????

??lnax???1、计算lim?ln?xlna??ln??,?a?1?. ????x?0????ln?x/a??????

2、设f(u,v)具有连续偏导数，且满足fu(u,v)?fv(u,v)?uv, 求y(x)?e满足的一阶微分方程，并求其通解.

3、求在[0,??)上的可微函数f(x)，使f(x)?e?u(x), 其中u?4、计算不定积分

?2x

f(x,x)所

?

xarctanxln1?x2dx.

???0

x

f(t)dt.

??10x?2y?2z?27,?5、过直线?作曲面3x2?y2?z2?27的切平面，求此切平面的方

x?y?z?0???

程.

二、（本题15分）设曲面?:z2?x2?y2,1?z?z, 其面密度为常数?. 求在原点处的质量为1的质点和?之间的引力（记引力常数为G）. 三、（本题15分）设f(x)在[1,??)连续可导，

???11???, ??f?(x)??ln?1?????x????1?f2(x)??x?1

证明：limf(x)存在.

x???

?四、（本题15分）设函数f(x)在[?2,2]上二阶可导，且|f(x)|?1，又f2(0)???f?(0)??4.

试证在?2,2内至少存在一点?，使得f(?)?f????0. 五、（本题15分）求二重积分I?

2

2

??????

??

x?y2?1

x2?y2?x?ydxdy.

六、（本题15分）若对于任何收敛于零的序列xn数

??，级数?anxn都是收敛的，试证明级

n?1

?

n?1

?|an|收敛.

?

1