[能力挑战] 15．[2018·浙江卷]已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹π2角为，向量b满足b－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( ) 3A.3－1 B.3＋1 C．2 D．2－3 解析：本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离． →→→→设OA＝a，OB＝b，OE＝e，以O为原点，OE的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，π则E(1,0)．不妨设A点在第一象限，∵a与e的夹角为，∴点A在从原点出发，倾斜角为3π222，且在第一象限内的射线上．设B(x，y)，由b－4e·b＋3＝0，得x＋y－4x＋3＝0，即3→2222(x－2)＋y＝1，即点B在圆(x－2)＋y＝1上运动．而BA＝a－b，∴|a－b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心(2,0)到射线y＝3x(x≥0)的距离减去圆的半径，所以|a－b|min＝3－1.选A. 222一题多解 将b－4e·b＋3＝0转化为b－4e·b＋3e＝0， 即(b－e)·(b－3e)＝0，∴(b－e)⊥(b－3e)． →→→→→→→设OE＝e，OA＝a，OB＝b，ON＝3e，OM＝2e，则EB⊥NB， ∴点B在以M为圆心，1为半径的圆上运动，如图． →∵|a－b|＝|BA|，∴|a－b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径． →π∵|OM|＝2，∠AOM＝， 3π∴|a－b|min＝2sin－1＝3－1. 3答案：A 16．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题： 22①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a＋b； ②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b； 2③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|； ④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，则(a＋b)⊙b＝10. 其中真命题的序号是________． 22解析：①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a＋b，所以①成立； ②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立； ③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－
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|a＋b|＋|a－b|2b|≤＝2|a|，所以③成立； 2④中，因为a＝(1,2)，b＝(－2,2)，所以a＋b＝(－1,4)，sin〈(a＋b)，b〉＝3344534所以(a＋b)⊙b＝35×5×＝，所以④不成立． 3434答案：①③ 334，3422π17．如图，设α∈(0，π)，且α≠.当∠xOy＝α时，定义平面坐标系xOy为α－2仿射坐标系，在α－仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：e1，e2分别为x轴，y→→轴正方向上的单位向量，若OP＝xe1＋ye2，则记为OP＝(x，y)，那么在以下的结论中，正确的是______．(填序号) ①设a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a＝b，则m＝s，n＝t； 22②设a＝(m，n)，则|a|＝m＋n； ③设a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a∥b，则mt－ns＝0； ④设a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a⊥b，则ms＋nt＝0； π2π⑤设a＝(1,2)，b＝(2,1)，若a与b的夹角为，则α＝. 33解析：显然①正确； 22|a|＝|me1＋ne2|＝m＋n＋2mncosα， π因为α≠，所以②错误； 2由a∥b，得b＝λa(λ∈R)，所以s＝λm，t＝λn， 所以mt－ns＝0，故③正确； 因为a·b＝(me1＋ne2)·(se1＋te2)＝ms＋nt＋(mt＋ns)cosα≠ms＋nt，所以④错误； 根据夹角公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， 又|a|＝|b|＝5＋4e1·e2，a·b＝4＋5e1·e2， π所以4＋5e1·e2＝(5＋4e1·e2)cos， 31故e1·e2＝－， 212π即cosα＝－，所以α＝，⑤正确． 23答案：①③⑤
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