2019届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）数学（理）
试题
一、单选题
1．在复平面内，复数(2?i)z对应的点位于第二象限，则复数z可取（ ） A．2 【答案】B
【解析】由题意首先分析复数z的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z的值. 【详解】
不妨设z?a?bi?a,b?R?，则
B．-1
C．i
D．2?i
?2?i?z??2?i??a?bi???2a?b???2b?a?i，
结合题意可知：2a?b?0,2b?a?0，逐一考查所给的选项： 对于选项A：2a?b?4,2b?a??2，不合题意； 对于选项B：2a?b??2,2b?a?1，符合题意； 对于选项C：2a?b?1,2b?a?2，不合题意； 对于选项D：2a?b?5,2b?a?0，不合题意； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形
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C．平行四边形 【答案】A
D．梯形
【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可. 【详解】
如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
?x?y?0,?3．若x,y满足?y?1?0,则x?y的最大值为
?y?2x?6,?A．0 C．2 【答案】D
【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可. 【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
B．1 D．4
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目标函数即：z?x?y?x?y2?2，
其中z取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线x?大，
据此可知目标函数在点A处取得最大值， 联立直线方程：?y?0距离的2倍最
?x?y?0，可得点的坐标为：A?2,?2?，
?y?2x?6据此可知目标函数的最大值为：zmax?2???2??4. 故选：D. 【点睛】
(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 4．已知直线l过抛物线y2?8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C.若点F是AC的中点，则线段BC的长为（ ) A．
8 3B．3
C．
16 3D．6
【答案】C
【解析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果. 【详解】
如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H，
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2
由抛物线y=8x，得焦点F（2，0），
∵点F是的AC中点，∴AE=2p=8，则AF=8， ∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得A6,43.
???kAF?43?3，则AF所在直线方程为y?3?x?2?. 6?2??y?3?x?2?联立方程：?可得：3x2?20x?12?0， 2??y?8x?6xB?4,xB?228，则BF?BH??2?. 333816. 故BC?CF?BF?AF?BF?8??33故选：C. 【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的（ )
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