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3. 求方程y???2y??y?x的一个特解. 4. 求方程y???5y??9y?5xe

高数一复习资料参考答案

一、选择题 1-5： DABAA 6-10：DBCDD 11-15： BCCBD 16-21：ABAAAA

二、求积分

1．求cosxsinxdx．

?3x2的通解.

?解：cosxsinxdx???232sinxd(sinx)?sin2x?C?sin3x?C

332. 求

?34?3lnxdx． x解：

?31114?3lnx3dx??(4?3lnx)d(lnx)??(4?3lnx)3?d(4?3lnx) x341?(4?3lnx)3?C． 43. 求arctanxdx．

解：设u?arctanx，dv?dx，即v?x，则

??arctanxdx?xarctanx??xd(arctanx)

x?1?x2dx 1 ?xarctanx?ln(1?x2)?C．

2 ?xarctanx?4. 求edx 解：edx?3x?3xx?t3t22t2tt2tte3tdt?3tedt?3te?3e?2tdt?3te?6te????dt

?3t2et?6tet?6etdt?3t2et?6tet?6et?C

?

?3ex(3x2?23x?2)?C． 5. 求

3x?3?x2?5x?6dx．

x?3?56解：由上述可知2，所以 ??x?5x?6x?2x?3x?3?5611dx?(?)dx??5dx?6?x2?5x?6?x?2x?3?x?2?x?3dx

??5lnx?2?6lnx?3?C．

6. 求定积分?dx． 301?x8解：令3x?t，即x?t3，则dx?3t2dt，且当x?0时，t?0；当x?8时，t?2，于是

223tdtdx?12?2??3t?t?ln(1?t)?3ln3． ?01?3x?01?t???2?08 7. 计算

??0x2cosxdx．

解：令u?x2，dv?cosxdx，则du?2xdx，v?sinx，于是

??0x2cosxdx??x2dsinx?(x2sinx)0??0??2xsinxdx??2?xsinxdx．

00??再用分部积分公式，得

?

8. 求

?0xcosxdx?2?2?0xdcosx?2?(xcosx)???0?0??cosxdx?

?0?? ?2?(xcosx)???sinx?0???2?．

1?x2?2x?8dx．

解：

1113?(x?1)dx?d(x?1)?ln?C ?x2?2x?8?(x?1)2?963?(x?1)12?xln?C． 64?x ?9. 求

dx?1?3x?2．

3解：令u?x?2，则x?u3?2，dx?3u2du，从而有

dx3u2u2?1?1?du?3?du ?1?u1?3x?2?1?u1u2)du?3(?u?ln1?u)?C ?3?(u?1?1?u211. 求

?212xe?xdx

2解：

?2122xe?x2dx??e12?x2dx?e2?x221?e?4?e?1

12. 求3x?3?x3dx

2解：3x

13. 求

?3?xdx???332323?xd(3?x)??(3?x)?C

333?e1ln2xdx x解：

?e1eln2x111dx??ln2xd(lnx)?lnx?lne?

1x3331e14.求x3?xdx

3311212222223?xd(3?x)???(3?x)?C??(3?x)?C 解：?x3?xdx???22332?2

三、解答题

11. 若lim3x?ax2?x?1?,求a

x??6??解：因为3x?ax?x?1?29x2?ax2?x?13x?ax?x?12，所以a?9

否则极限不存在。

12.讨论函数f(x)?x3?2x2?3x?3的单调性并求其单调区间

3解：f'(x)?x2?4x?3

由f'(x)?x2?4x?3?0得x1?1,x2?3

所以f(x)在区间(??,1)上单调增，在区间(1,3)上单调减，在区间(3,??)上单调增。

x2?x?23. 求函数f(x)?的间断点并确定其类型

x?2解：函数无定义的点为x?2，是唯一的间断点。 因limf(x)?3知x?2是可去间断点。

x?24. 设xy2?sinx?exy,求y?.

解：y2?2xy?y??cosx?exy(y?y?),

y(exy?y)?cosx故 y??

x(2y?exy)

(x?1)3x?25. 求y?的导数．

(x?3)5解：对原式两边取对数得：

1lny?3ln(x?1)?ln(x?2)?5ln(x?3),

2于是

y?3115????, yx?12x?2x?3(x?1)3x?23115[???]. 故 y??5x?12x?2x?3(x?3)

?x?acost6. 求由方程? 确定的导数y?x.

y?bsint?y?(t)bcostb2x???2. 解: y?x?x?(t)?asintay?1x?e,x?0?7. 函数f(x)??1,x?0在x?0处是否连续？

?tanx,x?0??