.*
================= ================= 附录：
宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化
（08、09、10、11硕已讲，精细订正版）
一、动态最优化
在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数
y?y(x)，最优点x?的一阶条件是y?(x?)?0.
在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线x?(t)．这个最大化的积分定义为独立变量t、函数x(t)及它的导数dx/dt的函数F下的面积。
?简言之，假设时间区域从t0?0到t1?T，且用x表示dx/dt，我们
寻找最大化或最小化
?
T0?F[t,x(t),x(t)]dt （20.1）
??这里假定F对t、x(t)、x的连续偏导数． (t)是连续的，且具有对x和x将形如(20．1)，对每一个函数x(t)对应着一个数值的积分称为“泛函”．
一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”．
.*
极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类x(t)． （讲！）
例1 一家公司当希望获得从时间t?0到t?T的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p，而且也依赖于价格关于时间的变化率如dp/dt。假设成本是固定的，并且每个p和dp/dt是时间的函数，
?代表dp/dt，公司的目标可以作如下数学表示 p?Max??[t,p(t),p(t)]dt
0T
另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平x(t)和生产的变化
??率dx/dt?x．假设这个公司希望最小化成本，且x和x是时间t的函数，
公司的目标可以写成
?min?C[t,x(t),x(t)]dt
t0t1满足
x(t0)?x0,且x(t1)?x1
这些初始和终值约束称为端点条件．
.*
例2 Ramsey经济：消费最优化问题
从家庭终生效用函数的集约形式U?U(c)出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey问题”—找出一条消费路径c(t)，使家庭终生效用函数U?U(c)最大化：
1??????t[c(t)]B?edt?max0c1??? ???k??0?(?(t)?c(t))e(n?g)t?R(t)dt?00?
二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）
定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个泛函
?要条件是
t1t0?F[t,x(t),x(t)]dt
连接点(t0,x0)和(t1,x1)的曲线x??x?(t)是一个极值曲线(即最优化)的必
称之为欧拉方程．
?Fd??F???? (20．2a)
???xdt??x尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程．
用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函
.*
数．(20．2a)的欧拉方程表示为
? Fx(t,x,x)?d?[Fx(t,x,x)] (20．2b) ?dt
然后，用链式法则求Fx?关于t的导数，并且省略自变“量”，得
??(?x) (20．2c) Fx?Fx????t?Fxx(x)?Fxx?这里，?x?d2x/dt2
下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。
x(t) x? X?x??mh ?t0 t1 t
图20-2
证明：（重点！09、10、11硕，已讲）
设x??x?(t)是图20-2中连接点(t0,x0)和(t1,x1)的曲线，并且它使下面泛函取得最大值
.*
t10? ?F[t,x(t),x(t)]dt (20．3) t即x??x?(t)为极值曲线，欧拉方程(20．2a)是x??x?(t)为极值曲线的一个必要条件．
??x?(t)?mh(t)是x??x?(t)的相邻曲线，取X这里m是任意常数，h(t)?也通过点(t0,x0)和(t1,x1)，则X?也满是一个任意函数．为了使曲线X足端点条件：
h(t0)?0
一旦取定x?(t)和h(t)之后，因x?(t)和h(t)固定，则积分值
h(t1)?0 (20．4)
?
t1t0?F[t,x(t),x(t)]dt仅为m的函数，不妨改写成
??? g(m)??tF[t,x?(t)?mh(t),x(t)?mh(t)]dt (20．5)
0t1?由于x(t)使(20．3)中的泛函?F[t,x(t),x(t)]dt实现最优化，所以t?0t1(20．5)中的函数g(m)仅当m?0时（因为m?0时的
t1t1????实现g(m)??F[t,x?(t)?mh(t),x(t)?mh(t)]dt才能还原为?F[t,x(t),x(t)]dt）
t0t0最优化，即有
???对(20．5)即g(m)??tF[t,x?(t)?mh(t),x(t)?mh(t)]dt用链式法则求
0dgdmm?0?0 (20．6)
t1?的函数，依次又是m的函数，代入(20．7)得 ?F/?m．由于F是x和x???t1??F?(x?mh)?dg?F?(x?mh)????????dt t0?dm?m?x?m??x?
相关推荐：
loading