《数学分析》（华师大二版）课本上的习题19

试对n?2与n?3两种情形，证明：当方程Pn(x)?0无重根时，函数组（３１）存在反函数组（３２）。

P.195 总练习题

1. 证明：若D?R为任何闭集，f:D?D,且存在正实数q?(0,1),使得对任何

nx?,x???D,满足f(x?)?f(x??)?qx??x??则在D中存在f的唯一波动点x*,即

f(x*)?x*.（本命题称为不动点定理或压缩映射定理.）

2. 设B?x?(x,x0)?r?Rn,f:B?Rn,且存在正实数q?(0,1),对一切x?,x???B满足f(x?)?f(x??)?qx??x??与f(x0)?x0?(1?q)r.利用不动点定理证明：

??f在B中有唯一的不动点。

n3. 应用定理19.11证明: 设D?R,f、g:D?R,若f在x0?D可微，f(x0)?0,，

g在x0连续，则f?g在x0可微.

nn4. 设D?R是开集，f:D?R为可微函数，且对任何x?D,detf?(x)?0.试证：

若y?f(D),?(x)?y?f(x),则对一切x?D,??(x)?0.

5. 证明：若D?R是凸集，f:D?R是D上的可微函数，则对任意两点 a、b?D，以及每一常向量??R,必存在点c?a??(b?a)?D,0???1,满足

mnm2?T[f(b)?f(a)]??Tf?(c)(b?a). （本命题也称为向量函数的微分中值定理）

6. 利用上题结果导出微分中值不等式 f(b)?f(a)?f?(c)?b?a, c?a??(b?a),0???1. 7. 设f(t)?[cost,sint],a?0,b?2?.

（1） 是否存在c?(0,2?),满足f(b)?f(a)?f?(c)(b?a).

（2） 按题5 所示的中值定理，对每一??R,应该存在c?(0,2?),使得

2T?T[f(b)?f(a)]??Tf?(c)(b?a),试求用?表示这里的中值点c.

nn7. 设f:R?R可微，且f?在R上连续.若存在常熟c?0,使对一切x1,x2?R，

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均有f(x1)?f(x2)?cx1?x2.试证明： （1）f是R上的一一映射； （2）对一切x?Rn,f?(x)?0.

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