2018年高考理科数学分类汇编 - 集合与简易逻辑

2018年全国高考理科数学分类汇编——集合与简易逻辑

1.（北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（ ）A A．{0，1} B．{﹣1，0，1}

C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}

【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}， 则A∩B={0，1}，故选：A．

2. （北京）设a，b均为单位向量，则“a?3b?3a?b”是“a⊥b”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

|2

【解答】解：∵“|﹣3|=|3+|”∴平方得|

+9||2﹣6?=|

|2

+9||2+6?

则?=0，即⊥，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要条件，故选：C．

3. （北京）设n为正整数，集合A={α|α=（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），记

M（α，β）=[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]

（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值； （Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 【解答】解：（I ） M（a，a）=2，M（a，β）=1．

（II）考虑数对（xk，yk）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的分别为0、0、0、1，

所以B中的每个元素应有奇数个1，

所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M（α，β）是偶数，

所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意，

1

假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，

则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M（α，β）=1不合题意， 故B中元素个数的最大值为4．

（Il） B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…， （0，0，0，…，1）}，

此时B中有n+1个元素，下证其为最大．

对于任意两个不同的元素α，β，满足M（α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，

假设存在B有多于n+1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M（α，β）=0， 所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1个元素含有1，

根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足xi=yi=l，此时M（α，β）≥1不满足题意， 故B中最多有n+1个元素．

4.（北京）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（ ）D A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）?A

C．当且仅当a＜0时，（2，1）?A D．当且仅当a≤时，（2，1）?A

【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确； 当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确； 故选：D．

5.（江苏） 已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B= {1，8} ．

【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．

6.（江苏）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为 27 ．

2

【解答】解：利用列举法可得： S26=S27=

故答案为：27．

7. （全国1卷）已知集合A={x|x﹣x﹣2＞0}，则?RA=（ ）B

2

，a27=43，?12a27=516，不符合题意．

=546，28=45?1228=540，符合题意，

A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}

【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，则：?RA={x|﹣1≤x≤2}． 故选：B．

8. （全国2卷）已知集合A={（x，y）|x+y≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（ ）

2

2

A A．9

B．8

C．5

D．4

【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1， 当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．

9. （全国3卷）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）C

A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}

【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选：C．

10.（上海） 已知a∈R，则“a＞1”是“

＜1”的（ ）A

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

”，“

”?“a＞1或a＜0”，

【解答】解：a∈R，则“a＞1”?“∴“a＞1”是“

”的充分非必要条件．故选：A．

11.（天津） 设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（?RB）=（ ）B

A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2} 【解答】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，∴?RB={x|x＜1}，

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