19.（本题12分）对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？
设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为
1?x1?x2???xn?1?xn?2014.
依题意知Sk?x1?x2??xn?xk(k?1,2,?,n)?Z?.
n?1对任意i,j(1?i?j?n)均有Si?Sj?xj?xi?Z?.于是，xj?xi?n?1.
n?1故xn?x1?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)???(x2?x1)?(n?1)2
?(n?1)2?xn?x1?2013?n?45.
由于
2014?1为整数，从而，n?1为2013的约数. n?1注意到，2013=3311361不超过45的最大约数为33.于是，n的最大值为34，即参赛选手最多有34名. 这样的
34
名选手的号码是可以实现的.如
xi?33i?32(i?1,2,?,33),x34?2014.
因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.
20. （本题16分）
13、（20分）AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，（AB?AC），
I1,I2分别是?ABD,?ACD的内心，?AI1I2的外接圆?O分别交AB,AC于
E,F，直线EF,BC交于点M；
证明：I1,I2分别是?ODM的内心与旁心．
证：如图，连DI1,DI2,BI1,AI2,I1F，由?EAF?900，则圆心O在EF上，设直径EF交AD于O?，并简记?ABC的三内角为A,B,C，由
?I1BD?B1??DAC 22AFOEI1MI2??I2AD,?I1DB?450??I2DA，
DIDB所以?DBI1∽?DAI2，得1?，且
DI2DA故?I1DI2∽?BDA，?I1DI2?900??BDA，而?DI1I2?B,?AI1D?900?B， 2BDC注意?AI1D??AI1F??FI1I2??DI1I2，?AI1F??AEF,?FI1I2??FAI2?B， 2所以?AEF?900?B?C??DAB，因此O?E?O?A，同理得O?F?O?A，故O?与O重合，即圆心O在AD上，而?EOD??OEA??OAE?2?OAE?2C，
?EOI1?2?EAI1??BAD?C，所以OI1平分?DOM；
同理得OI2平分?DOF，即I1是?ODM的内心，I2是?ODM的旁心．
证二：如图，因为?BAC?90?，故?AI1I2的外接圆圆心O在EF上，连OI1,OI2,I1D,I2D，则由I1,I2为内心知，
?I1AI2?45?， 所以
?I1OI2?2?I1AI2?90???I1DI2，
MEI1HAFOI2BDC于是O,I1,D,I2四点共圆，所以
?I2I1O??I1I2O?45?，又因?I2DO??I2I1O?45???I2DA，因此点O在AD上，即O为EF与AD的交点．设AD与?O交于另一点H，而由
?EAI1??I1AH2，
?,HF?的中点，可知，I1,I2分别为EH所以?EOI1??DOI1， ?HAI2??FAI2，
?DOI2??FOI2．因此，点I1,I2分别为?OMD的内心与旁心．
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