初中九年级数学上册 第1讲：一元二次方程
一：思维导图
二：知识点讲解
知识点一：一元二次方程的定义及一般形式
? 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2
（二次）的方程，叫做一元二次方程 ? 一元二次方程的一般形式是ax?bx?c?0?a?0?，其中ax是二次项，a是二次项
22系数；bx是一次项，b是一次项系统；c是常数项 ? 构成一元二次方程的三个条件：
? 是整式方程
? 只含有一个未知数 ? 未知数的最高次数是2.
不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程
2b?0时，? “a?0”是一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的重要组成部分。当a?0，
2它就成为一元一次方程。若方程ax?bx?c?0未指明a?0，则它不一定是一元二
次方程
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例1：下面关于x的方程：①ax?x?2?0；②3?x?9???x?1??1；③x?x?2221；x④x2?a?0(a为任意实数)；⑤x?1?x?1。其中，为一元二次方程的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
知识点二：一元二次方程的根
? 概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二
次方程的根。
? 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看
是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根 例2：若1?3是方程x?2x?c?0的一个根，则c的值为（ ）
A.
2?2 B.
43?2
C.
3?3 D. 1?3
知识点三：根据实际问题列出一元二次方程
? 步骤
1．正确理解题目的含义
2．找出其中的数量关系和等量关系 3．列出一元二次方程
例3：将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的地面长比宽多2米。求该矩形铁皮的长和宽各是多少米。若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意，可得方程 。
三：知识点复习
知识点一：一元二次方程的定义及一般形式
1. 若关于x的方程?m?1?x?3x?2?0是一元二次方程，则（ ）
2A. m??1
m?1B. m?0 C. m?0 D. m??1
2. 若方程xA. 0
?2x?3?0是一元二次方程，则m的值为（ ）
B. 1
2C. 2 D. 3
3. 一元二次方程2x?4x?1?0的一次项系数及常数项之和为 。 4. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数
项。
1) 2)
2x2?1?3x
5x?x?2??4x2?3x
知识点二：一元二次方程的根
5. 求一元二次方程x?4x??3的根？
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知识点三：根据实际问题列出一元二次方程
6. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比
赛共进行了28场，求九年级共有多少个班。设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（ ）
A. C.
x?x?1??28 2x?x?1??28
1x?x?1??28 21x?x?1??28 D. 2B.
7. 有一个矩形铁皮，长是30cm，宽是20cm，中间挖去144cm2的矩形，剩下的铁框四周
一样宽，若设宽度为xcm，根据题意可得方程 。
三：题型分析
题型一：应用一元二次方程的定义求值
例1：已知?m?1?xm?1?mx-1?0是关于x的一元二次方程，则m= 。
题型二：应用一元二次方程的解的定义求值
例2：若m、n是方程x?2x?0的两个实根，则m?n?2m?2n= 。
222题型三：对含有参数的方程的讨论
例3：若?k?1??k?3?x2??k?1?x?k?3?0是关于x的方程，求k的值。
易错点一：未整理成一般形式就确定各项及系数，导致错解
确定一元二次方程的各项系数及常数项时，必须将方程化为一般形式。若二次项系数为负数，一般将二次项系数化为证书，再确定各项系数及常数项。
例4：一元二次方程4x?x?1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A. B. C. D.
A. 4，0，1 B. 4，1，1 C. 4，1，-1 D. 4，1，0
2易错点二：理解概念不透彻，忽视二次项系数不为0这个条件
在二次项系数含有字母的一元二次方程中，一定要注意二次项系数不为0是一元二次方程的概念中不可缺少的条件，不能忽略。 例5：方程?m?2?xm?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则m= 。
五：习题
1：选择题
1) 已知x??1是一元二次方程x?mx?n?0的一个根，则?m?n?的值为（ ）
22A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
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22) 若x?m?m?0?是方程x?x?1?0的一个根，则代数式m?21的值为（ ） m2A. 1 B. -1 C. 3
3) 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. C.
D. -3
4x2?1?3?0 2x2B.
3x2?6x?1?0
5x2?y?0
D. 8x?2?0
4) 生物兴趣小组的学生将自己收集的标本想本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了
182件，如果全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（ ） A. C.
x?x?1??182 2x?x?1??182
2B. D.
x?x?1??182 x?x?1??182?2
5) 若2是方程x?3x?k?0的一个根，则常数k的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
6) 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程
中符合题意的是（ ） A. C.
1x?x?1??45 2B. D.
21x?x?1??45 2x?x?1??45 x?x?1??45
7) 若关于x的方程x??m?1?x?是（ ） A.
1?0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值2C.
?5 22B.
1 21 2D. 1
8) 我们知道方程x?2x?3?0的解是x1?1，x2??3。现给出另一个方程
?2x?3?2?2?2x?3??3?0，它的解是（ ）
A. C.
x1?1，x2?3 x1??1，x2?3
B. D.
x1?1，x2??3 x1??1，x2??3
2：填空题
9) 若x?1是关于x的方程x?px?q?0的一个根，则代数式p?q?2q的值
是 。
10) 一元二次方程ax?bx?c?0的一个根是1，且a、b、c满足
2222b?a?2?2?a?3，则a= ，b= ，c= 。
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