图5－2
【例3】 磨杆长为L，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F，如图5－2所示，求杆绕轴转动一周过程中力F所做的功．
解析：磨杆绕轴转动过程中，力的方向不断变化，不能直接用公式W＝Fscosθ进行计算．这时，必须把整个圆周分成许多段小弧，使每一小段弧都可以看成是这段弧的切线，即可以看成是这段的位移．这样，由于F的大小不变，加之与位移的方向相同，因而对于每一小段圆弧均可视为恒力做功．杆绕轴转动一周所做功的总和为：
W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F·Δs1＋F·Δs2＋…＋F·Δsn
因为Δs1＋Δs2＋…＋Δsn＝2πL 所以W＝F·2πL＝2πFL. 答案：2πFL 二、用F-s图象求解
9
图5－3
【例4】 如图5－3所示，长度为l、质量为m的均匀的绳，一段置于水平的光滑桌面上，另外长度为a的一段垂于桌面下，当绳下滑全部离开桌面时，求重力所做的功．
解析：开始使绳下滑的力是长度为a的一段绳所受的重力，此后下垂的绳逐渐增大，使绳下滑的力也逐渐增大，这是一个变力做功的问题，可用图象法分析．
图5－4
开始使绳下滑的力是长度为a的一段绳所受的重力F＝mg.当绳全部离开桌面时，绳下滑的位移是(l－a)，且此时使绳下滑的力是整条绳所受的重力mg.在此区间使绳下滑的重力均匀地增加，1?a?如图5－4所示．那么，重力做的功在数值上就等于图象所包围的梯形面积．即W＝?mg＋mg?·(l2?l?
almgl2－a2
－a)＝.
2lmgl2－a2
答案：
2l三、用动能定理求变力做功
10
图5－5
【例5】 如图5－5所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到时，物体仍做匀速圆周运动，半径为42R，则外力对物体所做的功是多少？
解析：该题中绳的拉力显然是变力，这里应用动能定理求解．设当绳的拉力为F时，小球做匀
Fv21
速圆周运动的线速度为v1，则有F＝m， ①
R当绳的拉力减小为时，小球做匀速圆周运动的线速度为v2，则有
4
Fv22
＝m， ② 42RF在绳的拉力由F减为的过程中，绳的拉力所做功由动能定理得
4
2
W＝mv22－mv1， ③
F1212
联立①②③解得
W＝－FR，其中负号表示做负功．
1
答案：－FR
4
四、用机械能守恒定律求变力做功
14
11
图5－6
【例6】 如图5－6所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
5R4R2RA．2R B. C. D.
333
解析：当A下落至地面时，B恰好上升到与圆心等高位置，这个过程中系统的机械能守恒，即：12
2mgR－mgR＝×3mv，
2
v2
接下来，B物体做竖直上抛运动，上升的高度h＝
2g两式联立得h＝
3
4R这样B上升的最大高度H＝h＋R＝.
3答案：C
五、用功能关系求变力做功
【例7】 如图5－7所示，一条重铁链长为2 m，质量为10 kg，放在光滑的水平地面上，拿住一端匀速提起铁链到铁链全部离开地面的瞬时，拉力所做的功是________(g取9.8 m/s)．
2
R 12
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