－a8)，f ′(x)为函数f(x)的导函数，则f ′(0)＝( )
A．0 C．2 [答案] D
[解析] ∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
∴f ′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′， ∴f ′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)＝8＝2. 二、填空题
7．(文)(2013·广东理，10)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
[答案] －1
1
[解析] y′＝k＋，y′|x＝1＝k＋1＝0，
4
4
12
9
B．2 D．2
12
6
x∴k＝－1.
(理)(2014·广东广州市调研)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．
[答案] －e
1
[解析] 设切点为(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1，得切线的斜率
xk＝lnx0＋1，故切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，与y＝
??lnx0＋1＝2
2x＋m比较得?
?－x0＝m?
，解得x0＝e，故m＝－e.
xx8．(文)(2013·江西理，13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e)＝x＋e，则f ′(1)＝________.
[答案] 2
[解析] ∵f(e)＝x＋e， 1
∴f(x)＝x＋lnx，f ′(x)＝1＋，
xxx∴f ′(1)＝1＋1＝2.
(理)(2014·湖南岳阳一模)设曲线y＝x上有一点P(x1，y1)，与曲线切于点P的切线为
m，若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线，设n交x轴于点Q，又作PR⊥x轴于R，则RQ的长为________．
1
[答案]
2
[解析] (数形结合法)令f(x)＝x，
- 5 -
1
∴f ′(x1)＝，
2x1
∵n与m垂直，∴直线n的斜率为－2x1，
∴直线n的方程为y－y1＝－2x1(x－x1)，由题意设点Q(xQ,0)，R(xR,0)．
1
令y＝0，又y1＝x1，则－x1＝－2x1·(xQ－x1)，解得xQ＝＋x1，由题意知，xR＝x1，
21
∴|RQ|＝|xQ－xR|＝.
2
9．(2014·湖北武汉月考)已知曲线f(x)＝xn＋1
(n∈N)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝
*
f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值为
________．
[答案] －1
[解析] f ′(x)＝(n＋1)x，k＝f ′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－
1nn＝，即xn＝， n＋1n＋1n＋1
n123201420151
∴x1·x2·…·x2015＝×××…××＝，
234201520162016
1
则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015＝log2016(x1·x2·…·x2015)＝log2016＝－1.
2016三、解答题
134
10．(文)已知曲线y＝x＋.
33(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
- 6 -
1342
[解析] y＝x＋，则y′＝x.
33(1)由题意可知点P(2,4)为切点，
y′|x＝2＝22＝4，
所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 134
(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点，故设切点为(x0，x0＋)，
33
y′|x＝x0＝x20，
1342
曲线过点P(2,4)的切线方程为y－(x0＋)＝x0(x－x0)，
331342
所以4－(x0＋)＝x0(2－x0)，
33
2322
x30－3x0＋4＝0?(x0＋1)－3(x0－1)＝0?(x0＋1)(x0－4x0＋4)＝0.
解得x0＝－1或x0＝2， 即切点为(－1,1)或(2,4)．
所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
(理)(2014·高州月考)设函数y＝ax＋bx＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0. 若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.
[解析] ∵y＝ax＋bx＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，
又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4； 又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12； 又函数在x＝2处取得极值0，所以
??y′|x＝2＝0，?
?f2＝0.?
3
2
3
2
??12a＋4b＋12＝0，
即?
?8a＋4b＋20＝0.?
解得a＝2，b＝－9，
所以所求函数解析式为y＝2x－9x＋12x－4.
一、选择题
11．(2014·宁夏育才中学月考)点P是曲线x－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线
2
3
2
y＝x－2的最小距离为( )
A．1
5
2
B．
3 2
C．D．2
[答案] D
- 7 -
122
[解析] 将x－y－lnx＝0变形为y＝x－lnx(x>0)，则y′＝2x－，令y′＝1，则x＝
x12
1或x＝－(舍)，可知函数y＝x－lnx的斜率为1的切线的切点横坐标为x＝1，纵坐标为y2＝1.故切线方程为x－y＝0.
则点P到直线y＝x－2的最小距离即切线x－y＝0与y＝x－2两平行线间的距离，d＝|0＋2|
＝2. 2
12．(2014·吉林长春三调)已知函数f(x)＝x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是( )
3
A．(－，3)
2C．(2,3) [答案] D
[解析] 由题意，A(x1，x1)，B(x2，x2)，f ′(x)＝2x，则过A，B两点的切线斜率k1＝1
2x1，k2＝2x2，又切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.两条切线方程分别为l1：y＝2x1x4－x1，l2：y＝2x2x－x2，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0，∵x1≠x2，∴x＝1
解得y＝x1x2＝－，故选D．
4
13.(2014·江西七校一联)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为( )
2
2
2
2
2
B．(0，－4) 1
D．(1，－) 4
x1＋x2
2
，代入l1，
[答案] B
- 8 -
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