[解析] ∵f(x)＝xsinx＋cosx，∴f ′(x)＝xcosx，∴k＝g(t)＝tcost.g(t)为奇函数且在t＝0附近，当t>0时，g(t)>0，故选B．
14．(文)已知函数f(x)＝x＋qx＋r，f(1)＝6，f ′(1)＝5，f ′(0)＝3，an＝
p1
fn，
n∈N＋，则数列{an}的前n项和是( )
A． n＋1
nB．
nnn＋2
n＋1C． 2n＋4
[答案] D
[解析] ∵f ′(x)＝px1＋q＋r＝6，??
?p＋q＝5，??q＝3.
2
D．
2n＋4
p－1
＋q，由条件知
p＝2，??
∴?q＝3，??r＝2.
1
＝
n＋3n＋2
2
∴f(x)＝x＋3x＋2. ∴an＝
1
fn＝
1
n＋1n＋2
＝11－ n＋1n＋2
∴{an}的前n项和为
?11??11??1－1?＝1－1＝n.
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝?－?＋?－?＋…＋??
?23??34??n＋1n＋2?2n＋22n＋4
(理)定义方程f(x)＝f ′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，
h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系
为( )
A．α>β>γ C．γ>α>β [答案] C
[解析] 由g(x)＝g′(x)得，x＝1，∴α＝1，由h(x)＝h′(x)得，ln(x＋1)＝故知1 由φ(x)＝φ′(x)得，x－1＝3x，∴x(x－3)＝1， ∴x>3，故γ>3，∴γ>α>β. [点评] 对于ln(x＋1)＝＋1≥2，则 11 ，假如0 3 2 2 B．β>α>γ D．β>γ>α 1 ，x＋1 111 ≤，即ln(x＋1)≤，∴x＋1≤e，∴x≤e－1与x≥－1矛盾． x＋122 二、填空题 - 9 - 15．(文)若曲线f(x)＝ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． [答案] (－∞，0) 1122[解析] 由题意，可知f ′(x)＝3ax＋，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax＋ 3 xx＝0?a＝－ 1 3(x>0)?a∈(－∞，0)． 3x(理)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f ′(x)为奇函数，则φ＝________. [答案] π 6 [解析] f ′(x)＝－3sin(3x＋φ)， 由条件知cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ) ＝2sin? ?π－3x－φ?＝－2sin?3x＋φ－π?为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝π. ??6?6?6??? 16．(文)(2014·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 1 [答案] log2e 2[解析] ∵y′＝ 11，∴k＝， xln2ln2 1 ∴切线方程为y＝(x－1)， ln2 1111 ∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e. 2ln22ln22 (理)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________． [答案] －3 [解析] 由曲线y＝ax＋过点P(2，－5)，得4a＋＝－5.① x2 2 2 bxbbbb7 又y′＝2ax－2，所以当x＝2时，4a－＝－，② x42 由①②得? ?a＝－1，? ??b＝－2， 所以a＋b＝－3. 三、解答题 17．求下列函数的导数： - 10 - 15432 (1)y＝x－x＋3x＋2； 53(2)y＝(3x－4x)(2x＋1)； (3)y＝3e－2＋e； (4)y＝ lnx； x2＋1 xxx3 (5)y＝xcosx－sinx； (6)(理)y＝cos2x＋e； (7)(理)y＝lg1－x. [解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导． 2 3 x?15??43?2 (1)y′＝?x?′－?x?′＋(3x)′＋(2)′ ?5??3? ＝x－4x＋6x. (2)∵y＝(3x－4x)(2x＋1)＝6x＋3x－8x－4x， ∴y′＝24x＋9x－16x－4， 或y′＝(3x－4x)′(2x＋1)＋(3x－4x)(2x＋1)′ ＝(9x－4)(2x＋1)＋(3x－4x)·2 ＝24x＋9x－16x－4. (3)y′＝(3e)′－(2)′＋(e)′＝(3)′e＋3(e)′－(2)′ ＝3ln3·e＋3e－2ln2＝(ln3＋1)·(3e)－2ln2. lnx′x＋1－lnx· (4)y′＝ x2＋12 1＝ 2 3 2 2 3 3 3 3 2 3 4 3 2 4 2 xxxxxxxxxxxxxxxx2＋1′ x· x2＋1－lnx·2xx2＋1 2 x2＋1－2x2·lnx＝. xx2＋12 (5)y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx. (6)(理)y′＝3cos2x·(cos2x)′＋e ＝－6sin2x·cos2x＋e. 22 xx?1 (7)(理)y′＝?lg ?2 ＝ 1－x2 ?′＝1·lge·(1－x2)′ ?2 21－x? xlge . x2－1 13a2 18．(文)(2013·荆州市质检)设函数f(x)＝x－x＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0)) 32处的切线方程为y＝1. (1)求b，c的值； - 11 - (2)若a>0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． [解析] (1)f ′(x)＝x2 －ax＋b， 由题意得??? f0 ＝1 ?，即??? c＝1 ?f ′ 0＝0 ??b＝0 . (2)由(1)得，f ′(x)＝x2 －ax＝x(x－a)(a>0)， 当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0， 当x∈(0，a)时，f ′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时，f ′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2 －ax＋2， 依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2 －ax＋2<0成立， 即x∈(－2，－1)时，a<(x＋2 x)max＝－22即可， 所以满足要求a的取值范围是(－∞，－22)． (理)(2014·北京石景一模)设函数f(x)＝x2 ＋ax－lnx(a∈R)． (1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围； (3)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，证明切点的横坐标为1. [解析] (1)a＝1时，f(x)＝x2 ＋x－lnx(x>0)， ∴f ′(x)＝2x＋1－1＝ 2x－1 x＋1xx，当x∈(0，1 2 ) 时，f ′(x)<0；当x∈(1 2 ，＋∞)时，f ′(x)>0. ∴f(x)的单调递减区间为(0，11 2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)f ′(x)＝2x＋a－1 x，∵f(x)在区间(0,1]上是减函数， ∴f ′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立，即2x＋a－1 x≤0对任意x∈(0,1]恒成立．∴a≤1x－2x对任意x∈(0,1]恒成立，令g(x)＝1 x－2x，∴a≤g(x)min. 易知g(x)在(0,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a≤－1. - 12 - 1 (3)证明：设切点为M(t，f(t))，f ′(x)＝2x＋a－， x1 切线的斜率k＝2t＋a－， t又切线过原点，则k＝∴ ft， tft122 ＝2t＋a－，即t＋at－lnt＝2t＋at－1. tt2 ∴t－1＋lnt＝0， 存在性：t＝1满足方程t－1＋lnt＝0， ∴t＝1是方程t－1＋lnt＝0的根． 12 再证唯一性：设φ(t)＝t－1＋lnt，∴φ′(t)＝2t＋>0，∴φ(t)在(0，＋∞)单调递 2 2 t增，且φ(1)＝0， ∴方程t－1＋lnt＝0有唯一解． 综上，切点的横坐标为1. 2 - 13 -
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