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（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．
D A
B F C （第24题）
E
【关键词】在等腰梯形性质进行转化。 【答案】
??CDA??DCE． （1）证明：AD∥BC，又四边形ABCD是等腰梯形，??BAD??CDA， ??BAD??DCE． AB?DC，AD?CE， ?△BAD≌△DCE．
?四边形ACED是平行四边形， （2）AD?CE，AD∥BC，?AC∥DE． AC?BD，?DE?BD．
由（1）可知，△BAD≌△DCE，?DE?BD． 所以，△BDE是等腰直角三角形，即?E?45°， ?DF?FE?FC?CE．
四边形ABCD是等腰梯形，而AD?2，BC?4， ?FC?1． CE?AD?2 ?DF?3． ．（2009年浙江省绍兴市）如图，在△ABC中，AB?AC，?BAC?40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使?BAD??CAE?90°． （1）求?DBC的度数；
（2）求证：BD?CE．
【关键词】等腰三角形的性质 【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形，?BAD?90°，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．
(2)AB＝AC,?BAD??CAE?90°,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE．
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2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，0)，直线BC经过点B(?8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是 ， 当??90°时，
BP的值是 ； BQBP的值； BQ②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使
1BP?BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求
y B? B A? P C Q B C P x y y A? ? Q） B（B C C? O x A
O A （图2）
【关键词】勾股定理 【答案】解：（1）矩形（长方形）；
（图3）
C? x A O （备用图）
BP4?． BQ7（2）①?POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?． CPOCCP6???， ，即A?B?OA?6897?CP?，BP?BC?CP?．
22同理△B?CQ∽△B?C?O，
CQ10?6CQB?C???，即， 68C?QB?C??CQ?3，BQ?BC?CQ?11． BP7??． BQ22②在△OCP和△B?A?P中，
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??OPC??B?PA?，? ??OCP??A??90°，?OC?B?A?，??△OCP≌△B?A?P(AAS)． ?OP?B?P． 设B?P?x，
在Rt△OCP中， (8?x)2?62?x2，解得x?25． 412575?S△OPB????6?．
2441BQ． 23?7???点P的坐标是P，?9?6，6P6?． 2??，1??42????（3）存在这样的点P和点Q，使BP?对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．
过点Q画QH⊥OA?于H，连结OQ，则QH?OC??OC，
11PQOC，S△POQ?OPQH， 22?PQ?OP． 设BP?x，
1BP?BQ，
2?BQ?2x， S△POQ?① 如图1，当点P在点B左侧时， OP?PQ?BQ?BP?3x，
在Rt△PCO中，(8?x)2?62?(3x)2，
y y B? B? A? Q P B B Q C C P C? H A? C? H A O O x A x 336，x2?1?6（不符实际，舍去）． 223?PC?BC?BP?9?6，
2解得x1?1?www.xsjjyw.com 新世纪教育网 单位租用个人充值 客服：13857608325
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3???P?9?6，6?． 1?2??②如图2，当点P在点B右侧时，
?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x． 在Rt△PCO中，(8?x)2?62?x2，解得x?25． 4?PC?BC?BP?8?257?， 44?7??P2??，6?．
?4?13?7??6，6?，P2??，6?，使BP?BQ．
22?4??3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD?BC于点D，
综上可知，存在点P1??9???以AD为一边向右作正三角形ADE。 （1）求ABC的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。 【关键词】正三角形 【答案】
解：（1）在正△ABC中，AD?4?3?23， 211BC?AD??4?23?43． 22（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．
在△CDF中，?CDE?90°??ADE?30°，
??CFD?180°??C??CDE?180°?60°?30°?90°， ?AC⊥DE． ?S?4．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，
AB?50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1?PA?PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A?，连接BA?交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2?PA?PB．
（1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2?PA?PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、
A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
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