线性代数（理）综合复习资料

《线性代数（理）》综合复习资料

第一章

一、选择填空题：

1、排列542163的逆序数为______________。

a11?x8、已知多项式f(x)?a21?xa12?xa1?3xn阶行列式

是 。

a22?xa2?3x，则f(x)的最高次数

a31?xa32?xa3?3x9、设A为3阶矩阵且行列式A?0，则下列说法正确的是（ ）

3 2、行列式

15（1）矩阵A中必有一列元素等于0； （2）矩阵A中必有两列元素对应成比例；

（3）矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合； （4）矩阵A中任一列向量是其余列向量的线性组合。 10、下列说法错误的是（ ）

（1）若n阶线性方程组Ax?b的系数矩阵行列式一解；

，

则

（2）若n阶线性方程组Ax?0的系数矩阵行列式（3）一个行列式交换两列，行列式值不变；

2334）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。3（

4?12中，元素4的代数余子式为 。

?2?31a11a12a22a32a13a31?2a32?2a22?2a12a11a21a312a2a3a333a23? 。 3a13a12a22a323 3、设行列式a21a31a23?3，则a21a33a11A?0，则该方程组存在唯

a13a23?3a33324、设行列式

则该方程组只有零解； A?0，

2a32a2?2a1112a3322a1?2a12a22a12?2a。 3? 212a3二、计算下列行列式

5、n个方程、n个未知量的齐次线性方程组Ax?0有非零解的充要条件是 。

6、设A,B均为3阶方阵，且7、设A,B均为3阶方阵，且

A?3,B?2，则BA?A2? 。 A?2,B??3，则3A?B?1? 。

1?53?413?12 1、D?；

021?1?513?3第 1 页 共 18 页

149162、D?4916259162536 16253649a2(a?1)2(a?2)2(a?3)23、D?b2(b?1)2(b?2)2(b?3)2c2(c?1)2(c?2)2(c?3)2；d2(d?1)2(d?2)2(d?3)2123...n?103...n4、Dn??1?20...n； ...........?1?2?3...0122...2222...25、Dn?223...2； ...........222...n1200?001320?006、D?0132?00； n..............0000?320000?13

x1?1x1?2?x1?n7、Dx2?1x2?2?x2?nn?????；

xn?1xn?2?xn?nxa?a8、D?ax?an????；

aa?x111?11122?229、D123?33n???????；

123?n?1n?1123?n?1nyx00?00yx0?010、D00yx?0n???????； 000?yxx00?0y第二章 矩阵

一、选择填空题

?1?1?23? 1、设A???1?11?3?，则A的秩r(A)? 。??11??1?1??第 2 页 共 18 页

4??231?1?13?3??，则A的秩r(A)? 。 2、设A???3241?????10?21? 3、设A,B均为3阶方阵，且

9、设n阶实方阵A,B,C满足关系式ABC?E，其中E为n阶单位矩阵，则下列关系式成立的是（ ）

（1）ACB?E；（2）CBA?E；（3）BAC?E；（4）BCA?E。

A则BA?A?4,B?2，

2? 。

?1?04、设A???3???12??4??11??，B???20???2??111030?3??，则ATB?1??4?。

?a11a12?10、设A?a2?1a22??a31a32a13a23a33??a11??，B?a21??????a31a12?a11a22?a21a32?a31a13??110??a23?，P??010?，

??a33????001??则下列等式正确的是（ ）

。

（1）PA?B；（2）AP?B；（3）PB?A；（4）BP?A。 二、计算证明题

?122????15、设A?21?2，则A?????2?21??（1）(AB)（3）AA?T?301??? 1、设矩阵A和B满足关系式AB?A?2B，且已知A?110，求矩阵????014??B。

6、设A和B皆为n阶方阵，则下面论断错误的是( )

?BTAT； （2）(AB)?1?B?1A?1；

（4）如果AB?O，则A?O或?A，其中A?为A的伴随矩阵；

B?O。

7、设A是m?n阶矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B?AC的秩为t，则下列结论成立的是（ ）。

（1）r?t；（2）r?t；（3）r?t；（4）r与t的关系不定。 8、下面论断错误的是( )。

（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（2）可逆阵之和未必是可逆阵； （3）两个初等阵的乘积仍是初等阵； （4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。

?010??1?1????? 2、已知AX?B?X，其中A??111，B?20，求矩阵X。 ????????10?1???5?3?? 3、设A,B为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，满足关系式AB?E?A?B，

2?101???且已知A?020，求矩阵B。 ?????101??4、设A,B为n阶矩阵，满足AB?A?B，（1）证明A?E可逆；

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?10?1???，求矩阵B。

（2）若A?021????1?2?1???11?1???，矩阵B满足A?B?A?1?2B，其中A?是A5、设矩阵A??111????1?11??的伴随矩阵，求矩阵B。

1、设向量组?1,?2,?3线性无关，则当t?_____ 时，向量组?2??1，t?3??2，

?1??3 线性相关。

2、已知向量组?1 ??1234?，?2??2345?，?3??3456?，

?4??4567?，则该向量组的秩为 。

3、已知向量组

?1??12?11?，

?2??20t0?，

?111?????16、已知三阶矩阵A的逆矩阵为A?121，试求伴随矩阵A的逆矩阵

????113??(A?)?1。

?3??0?45?2?的秩为2，则t? 。

4、关于最大无关组，下列说法正确的是（ ） （1）秩相同的向量组一定是等价向量组； （2）一个向量组的最大无关组是唯一的； （3）向量组与其最大无关组是等价的；

（4）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。 5、设矩阵A?(aij)m?n的秩为r，则下列说法错误的是（ ） （1）矩阵A存在一个r阶子式不等于零； （2）矩阵A的所有r?1阶子式全等于零； （3）矩阵A存在r个列向量线性无关； （4）矩阵A存在m?r个行向量线性无关。

6、对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（ ） （1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；

（2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；

（3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示； （4）如果n阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。 7、n维向量组?1,?2,?,?r(3?r?1?10???27、已知A?01?1且A?AB?E，其中E是三阶单位矩阵，求矩阵

????001??B。

8、设方阵A满足A?A?2E?0，证明A及A?2E都可逆，并求A及

2?1(A?2E)?1。

9、已知E?AB可逆（其中E为单位矩阵），试证E?BA也可逆，且有

(E?BA)?1?E?B(E?AB)?1A。

第三章 向量组的线性相关性和秩

一、选择填空题

?n)线性无关的充要条件是（ ）

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