第五章 设计一个合理的教学

第五章 设计一个合理的教学

第3节：“我”怎样设计一节课

相信还没有设计一节成功数学课的“普适性”程序——按照这个程序一步一步走下去就可以设计一个有效的数学教学过程，以后是否有也很难说。

但设计一个合理的数学教学却也有一些基本的准则，遵循它们，我们就可以设计出一节体现数学课程标准理念的数学课。

首先，需要对教学的“合理性”作一个解释。

关于教学的“合理性”有多方面的含义，如：行为合理性、选择合理性、实践合理性、实质合理性等。这里，我们所关注的是教学实施合理性。

教学实施合理性包含：

教学实施合乎目的性——教学实践各要素以实现预期目的为指向，进行相互作用；

教学实施合乎规律性——教学实践各要素要以符合人的认识规律、学生的心理发展规律、社会规律（条件）进行整合，以便最大限度的形成教学的整体效益。

显然，教学目的具有强烈的时代感、相对意义下的最大价值观；而且人们对人的认识规律、学生的心理发展规律的认识，以及所拥有的社会规律（条件）也都依赖于特定的历史条件。因此，“合理的数学教学”就只是一个在现代数学教育观念背景意义下的概念。

或者说，我们这里所说的“合理的数学教学设计”就是指在新课程意义下的，以实现新课程教学目标为指向的、遵循学生数学学习规律的、符合客观现实条件

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的数学教学设计。

数学教学设计受很多因素的影响——包括教学的目标、学习内容、学生的认知特点、教师自身状况和教学条件等。下面我们从几个主要方面入手，加以探讨。 1．

关于学习素材

首先，在数学学习活动中，学生一定要成为积极主动的参与者，而不是一个旁观者，因此，我们设计数学教学活动的第一要旨就是设法让学生主动地参与到数学学习活动中来。这就是说，学习素材（包括内容与形式）一定要引起学生参与到数学活动中来的欲望；

其次，我们所提供的学习素材或任务应当有较高的数学价值——体现基本的、核心的数学观念，包含基本的数学概念与重要的数学思想方法，需要常用的数学技能，或者本身就是经典的数学问题。

课例 猜想与证明 ⑴ 教学目标

① 让学生经历探索与证明数学结论的过程，体验相应的数学思想方法，发展解决问题的能力；

② 通过求解相应的“问题串”，使学生体会到不同数学知识领域之间的联系；

③ 通过反思自己以及同伴解决问题的过程，使学生提出问题的能力得到发展。

⑵ 设计意图

数学本来就是一个整体，许多不同知识之间有着密切的联系，只是因为研究的需要，人们才把她分成不同的分支。基础教育阶段主要包括“数与代数”、“几

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何”、“统计”、“概率”等知识领域。在具体数学知识的教学

过程中，比较容易让学生看到不同“领域”之间内容的差异，而感受不到其间的联系。因此，有必要设计一些教学活动，帮助学生形成良好的数学整体观——这是一个极为重要的数学基本观念。而这样的活动显然不能通过（甚至主要通过）讲解、告之的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟。事实上，综合运用数学知识解决问题的过程也是发展学生解决问题能力的重要途径。

⑶ 教学过程设计：

① 教师提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，使得它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？

② 学生小组研讨，并形成进一步的问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？

师：怎样思考这个问题？能否形成一个“合理”的猜想？

目的在于引导学生形成一个有效的解题思路，例如：考虑：如果已知矩形的长与宽分别为2和1，结论会怎样呢？

（若已知矩形的长与宽分别为2和1，则其周长与面积分别为6和2，所求矩形的周长与面积应为12和4。 若先固定所求矩形的周长——周长为12的矩形很多，它们的长与宽可以是5和1、4和2、3和3，也可以是11/2和1/2??其中是否有面积为4的？也可以先固定所求矩形的面积：面积为4的矩形也有很多，它们的长与宽可以是4和1、2和2、1/2和8?.. 其中是否有周长为12的？）

进一步，如果已知矩形的长与宽分别为3和1，是否还有相同的结论？已知矩形的长和宽分别为4和1，5和1，??n和1呢？

③ 全班交流并证明：一般的，已知矩形的长和宽分别为n和m时，仍然有

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相同的结论。

不同的小组可能出现不同的想法——至少是不同的解题思路，交流有益于相互启发，形成更深刻的认识。

④ 教师提出问题：反过来，任意给定一个矩形，是否也一定存在一个矩形，它的周长和面积分别是所给矩形周长和面积的一半呢？

教师介绍如下的“自然”想法（若学生能够形成则更好）：这个结论应当是肯定的，理由是：既然任意给定一个矩形，都存在一个新矩形，使得它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”；那么，这个旧矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半。例如，长和宽分别为3+5和3-5的矩形（其周长和面积分别为12和4），是由长和宽分别为2和1的矩形“加倍”而来的，后者就满足对前者的“减半”要求。

问学生：你同意上面的观点吗？你是怎样求解的？ 回顾上面几个问题的求解过程，是否有可以借鉴的地方——此时，反思是很有价值的活动，它不但可以帮助学生理解思考对象，更可以使学生在研究方法、研究能力方面得到提高。

⑤ 学生讨论 可以模仿上面的思考过程：若已知矩形的长和宽仍为2和1，是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？若已知矩形的长和宽为3和1，4和1，5和1呢？

⑥ 全班交流对如下问题的思考：对于满足什么条件的矩形，存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？

证明所得到的结论。 ⑦ 教师介绍如下的想法：

这个问题是有关图形性质的，而解决问题所用的基本方法是“代数”的。

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