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[步步高]2015届高三数学人教B版[配套文档] 常考题型强化练 - 不等式、推理与证明

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80 0008 000

所以函数S=8 100++10x(0

所以当景观区的长为160米,宽为50米时,休闲区ABCD所占面积S最小.

B组 专项能力提升 (时间:30分钟)

1. 某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0

f?10?

则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最小值为 ( )

10A.18 B.27 C.20 D.16 答案 A

2

f?t?t+10t+16

解析 平均销售量y== tt

16

=t++10≥18.

t

16

当且仅当t=,即t=4∈(0,30]时等号成立,

t即平均销售量的最小值为18.

2. 某蔬菜收购点租用车辆,将100吨新鲜黄瓜运往某市销售,可供租用的卡车和农用车分

别为10辆和20辆.若每辆卡车载重8吨,运费960元,每辆农用车载重2.5吨,运费360元,则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为 A.11 280元 C.10 280元 答案 B

解析 设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆,

B.12 480元 D.11 480元

( )

??0≤y≤20

运完全部黄瓜支出的运费为z元,则?8x+2.5y≥100

x∈N??y∈N

++

0≤x≤10

目标函数z=960x+360y,此不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10,8),B(10,20),C(6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点.

当直线l:z=960x+360y经过点A(10,8)时,运费最低, 且其最低运费zmin=960×10+360×8=12 480(元),选B.

3. 如图所示,要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池,并在鱼池的

四周留出左右宽2米,上下宽1米的小路,则占地总面积的最小 值是________平方米. 答案 968

800

解析 设鱼池的长EH=x,则EF=,

x

?800+2? 占地总面积是(x+4)·?x?

1 600?x+=808+2?x? ?≥808+2·2

1 600

x·=968.

x

1 600

当且仅当x=,即x=40时,取等号.

x

4. 我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系xOy中,

利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且其法向量为n=(1,-2)的直线方程为1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比上述方法,在空间直角坐标系Oxyz中,经过点A(1,2,3),且其法向量为n=(-1,-2,1)的平面方程为________. 答案 x+2y-z-2=0

→解析 设P(x,y,z)为空间内任意一点,则类比上述结论可得AP·n=(x-1,y-2,z-3)·(-1,-2,1)=0,整理得x+2y-z-2=0.

5. 某工厂每天生产某种产品最多不超过40件,产品的正品率P与日产量x(x∈N+)件之间

4 200-x2的关系为P=,每生产一件正品盈利4 000元,每出现一件次品亏损2 000

4 500元.(注:正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数;

(2)该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值. 4 200-x24 200-x2?4?解 (1)∵y=4 000··x-2 0001-·x=3 600x-x3,

4 50034 500??4

∴所求的函数关系式是y=-x3+3 600x(x∈N+,1≤x≤40).

3(2)由(1)知y′=3 600-4x2. 令y′=0,解得x=30. ∴当1≤x<30时,y′>0; 当30

4

∴函数y=-x3+3 600x(x∈N+,1≤x≤40)在(1,30)上是单调递增函数,在(30,40)上是单

3

调递减函数. ∴当x=30时,

4

函数y=-x3+3 600x(x∈N+,1≤x≤40)取得最大值,

34

最大值为-×303+3 600×30=72 000(元).

3∴该厂的日产量为30件时,日利润最大, 最大值为72 000元.

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