7.1预备知识

§7.1 预备知识

一、空间直角坐标系

1.坐标系的建立

z

x 在空间任取一点O，过O点作三条相互垂直的数轴Ox,Oy,Oz,各轴的方向按右手规则确定Oy所谓右手规则是指：如果将右手的拇指和食指分别指着Ox,Oy轴的正方向，而中指所指的方向与Oz轴的正方向相同.空间直角坐标系，记为Oxyz.其中O点称为坐标系原点；Ox,Oy,Oz称为坐标轴， 分别称为x轴、y轴、z轴；

每两个坐标轴确定一个平面，称为坐标平面，分别称为xOy平面,yOz平面，zOx平面.

这三个平面将空间分成8个部分，称为8个卦限. 2.空间中的点与三元有序数组的对应

设P是空间中任意一点，在Ox轴、Oy轴、Oz轴上的 设点Px,Py,Pz， 坐标分别为x0,y0,z0,分别称x0,y0,z0为点P的x坐标，y坐标，z坐标，而称点P的坐标为(x0,y0,z0)，通常记为P(x0,y0,z0).

一些特殊点的坐标

坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C;坐标原点 O(0,0,0).

二、空间直角坐标中的向量

1.向量概念

向量是一个既有大小又有方向的量. 空间中通常用有向线段表示向量.

大小相等、方向相同的两向量称为相等的向量.

向量a的长度用a表示.

若a?0，则称a为零向量，零向量没有方向；若a?1，则称为单位向量.

2.向量的加减法 向量的加法

设OA?a,OB?b，以OA和OB为邻边的平行四边形OACB的对角线向 量OC称为a和b的和向量()，记作a?b. 向量的加法有交换律与结合律，即

（）1a?b?b?a;（2）(a?b)?c?a?(b?c).

向量的减法

向量的减法定义为加法的逆运算，即若向量b和c的和向量为a，c就定义为a与b的 差(向量)，记为a?b.3.数量与向量的乘积（即数乘）

设?是一个实数，a是一个向量，则乘积?a是向量，它的大小为?a??a(其中?表示?的绝对值),

方向为：当??0时，?a与a的方向相同，当??0时，?a与a的方向相反，当??0时，?a?0，这时它的方向可以是任意的. 由以上定义易得：

(i)两个非零向量a和b互相平行的充要条件是存在一个实数?，使得b??a;零向量平行于任何向量.

(ii)一个非零向量a乘以它的长度的倒数方向的单位向量.称向量11a所得的向量a?是一个与a同aaaa为a的单位化(向量).a

数量与向量的乘积有下列四条性质(?，?为实数)

（）11?a?a;（2）(???)a??a??a;

（3）?(?a)??(?a)?(??)a;（4）?(a?b)??a??b. 4.向量的分解与向量的坐标

设向量OP的始点O是直角坐标系Oxyz的原点,终点P的坐标为(x,y,z),如图作法，得到点Pxy,Px,Py及Pz.

由向量加法定义有

OP?OPxy?OPz?OPx?OPy?OPz

在坐标轴Ox,Oy,Oz上分别取以原点O为始点的三个单位向量,其方向与各轴的正向相同,并分别 用i,j,k表示,称这三个向量为坐标向量.如图所示.于是由OPx,OPy,OPz分别与i,j,k方向相同,及OPx,OPy,OPz的代数长度分别为x,y,z得OPx?xi,OPy?yj,OPz?zk，因此，OP?xi?yj?zk 上式称为OP在三个坐标轴上的分解式，对应于i,j,k的系数x,y,z称为向量OP的坐标，记作OP?{x,y,z}.

向量OP的长度OP为OP?OPxy?OPz22?OPx?OPy?OPz 222x?y?z222而OPx?x,OPy?y,OPz?z,故有 OP?5.空间中两点间的距离公式

(7?1 )设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是任意两点,

PP12?OP2?OP1?(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k OP?PP12?(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k 由（7?1）式得OP?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2，即

PP(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2即为空间中两点间的距离公式. 12?6.两向量的标量积（即内积） 设a,b是两个向量，定义a与b的标量积为a?b?abcos(a,b),其中(a,b)表示a与b的夹角.标量积的基本运算性质

（）1a?b?b?a;（2）(a?b)?c?a?c?b?c;(3)(?a)?b???a?b?,?为一实数. 两个向量垂直的充分必要条件是它们的标量积等于零，即a?b?a?b?0

若a与b的坐标分别为{x1,y1,z1}与{x2,y2,z2},则a?b?x1x2?y1y2?z1z2 即两个向量的标量积等于它们对应坐标的乘积之和

当a?b时，a?a?x12?y12?z12,又a?a?a,a?x12?y12?z12,a?x12?y12?z12.

22三、空间曲面与方程

在空间直角坐标系Oxyz下,空间中的任意曲面S都是点的几何轨迹.

凡位于这一曲面上的点的坐标(x,y,z)都要满足一个三元方程

F(x,y,z)?0(7?3)而不在这个曲面上的点的坐标都不满足方程(7?3),我们称方程(7?3)为曲面S的方程,而曲面S的几何图形称为方程(7?3)的图形.例1.求以P0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面S的方程.

解：设P(x,y,z)是球面S上的任意一点,则PP0?R

由两点间的距离公式(7?2)得

(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R

即(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2这就是所求的球面的方程.

例2．设有点M1(?1,0,1)与点M2(0,1,?2),求到这两点距离相等的点的轨迹方程. 解：设P(x,y,z)是所求轨迹上的点，

则由PM1?PM2得(x?1)2?(y?0)2?(z?1)2?(x?0)2?(y?1)2?(z?2)2

整理得2x?2y?6z?3?0

此即所求的轨迹方程.易知它表示的是垂直平分线段M1M2的垂直平分面.

例3．求平行于xOy坐标平面且与xOy平面的距离为k(k?0)的平面π的方程. 解：设P(x,y,z)是所求平面π上任意一点，

P(x,y,z)到平面的距离为：PPxy?(x?x)2?(y?y)2?(z?0)2?k, 即得π的方程为z?k或z??k

这表明与xOy平面平行且相距为k的平面有两个：z?k或z??k. 1.平面

空间中平面的一般方程为：

ax?by?cz?d?0

其中a,b,c,d均为常数，且a,b,c不全为零.2.柱面

定义7.1 与给定直线L平行的动直线l沿着某给定的曲线(C)移动所得到的空间曲面,称为柱 面;动直线l称为柱面的母线,定曲线(C)称为柱面的准线.3.旋转曲面

定义7.2 由一条平面曲线（C）绕其平面上的一条直线L旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面? 直线L叫做旋转曲面的轴，曲线（C）这条定直叫做旋转曲面的一条母线? ?

设在yO z 坐标面上有一已知曲线C? 它的方程为

f (y? z) ?0?

把这曲线绕z轴旋转一周? 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面? 它的方程可以求得如下????

设M(x? y? z)为曲面上任一点? 它是曲线C上点M1(0? y1? z1)绕z轴旋转而得到的? 因此有如下关系等式