组合与组合数公式
一、题组对点训练 对点练一 组合概念的理解
1．下列问题中是组合问题的个数是( ) ①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积； ④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商． A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选B ①③与顺序无关，属于组合问题；②④与顺序有关，属于排列问题，故选B.
2．下列各事件是组合问题的有________．
①8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ ②8个朋友相互写一封信，一共写了多少封信？
③从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ ④从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？ 解析：①每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．②每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．③是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．④是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变.
答案：①④
对点练二 组合数公式
3．下列计算结果为28的是( ) A．A4＋A6 C．A8
8×72解析：选D C8＝＝4×7＝28.
24．若Cn＝36，则n的值为( ) A．7 C．9
B．8 D．10
222
2
B．C7 D．C8
2
7
122
解析：选C ∵Cn＝36，∴n(n－1)＝36，即n－n－72＝0，∴(n－9)(n＋8)＝0.∵n∈
2N，∴n＝9.
*
- 1 -
5．C6＋C7＝________.
6！7！6×57×625
解析：C6＋C7＝＋＝＋＝15＋21＝36.
4！×2！2！×5！22答案：36
6．已知An＝4Cn－1，则n＝________.
?n－1??n－2?22
解析：因为An＝4Cn－1，所以n(n－1)＝4×，解得n＝4(n＝1舍去)．
2答案：4
7．已知Cn，Cn，Cn成等差数列，求Cn的值． 解：由已知得2Cn＝Cn＋Cn，
5
4
6
4
5
6
12
2
2
25
n！n！n！
所以2·＝＋，
5！?n－5?！4！?n－4?！6！?n－6?！
整理得n－21n＋98＝0， 解得n＝7或n＝14，
要求Cn的值，故n≥12，所以n＝14， 14×13122
于是C14＝C14＝＝91.
2×1对点练三 简单的组合应用题
8．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建造“村村通”工程，共需建公路的条数为( )
A．4 C．28
B．8 D．64
2
12
2
解析：选C 由于公路的修建问题是组合问题．故共需要建C8＝28条公路．
9．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )
A．C10种 C．A3A7种
123
B．A10种 D．C3C7种
12
3
解析：选D 每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C3种选法；第二步，选男工，有C7种选法．故共有C3C7种不同的选法．
??111
10．若x∈A，则∈A，就称集合A具有伙伴关系．集合M＝?－1，0，，，1，2，3，4?
32x??
1
2
12
的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A．15 C．2
8
B．16 D．2
5
11
解析：选A 将集合M中除0,4外的元素分为四组，即－1；1；，2；，3.它们能组成
23
- 2 -
具有伙伴关系的非空集合的个数为C4＋C4＋C4＋C4＝15，故选A.
11．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．
解析：从10人中选派4人有C10种方法，对选出的4人具体安排会议有C4C2种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法种数为C10C4C2＝2 520.
答案：2 520
12．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)在选出11名上场队员时，还要确定其中一人为守门员，那么教练员有多少种方法做这件事情？
解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C17＝12 376(种)． (2)教练员可以分两步完成这件事情．
第1步， 从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C17种选法；第2步，从选出的11人中再选出1名守门员，共有C11种选法．所以教练员做这件事情的方法数有C17×C11＝136 136(种)．
二、综合过关训练
1．(C100＋C100)÷A101的值为( ) A．6 1C. 6
B．101 D.1 101
2
97
3
1
11
1
11
11
4
21
4
21
1234
112973233333
解析：选C (C100＋C100)÷A101＝(C100＋C100)÷A101＝C101÷(C101A3)＝3＝.
A36
2．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有( ) A．C3C198种 C．(C200－C197)种
3
4
22
B．(C3C197＋C3C197)种 D．(C200－C3C197)种
23
5
14
2332
解析：选B 分为两类：第一类，取出的5件产品有2件次品3件合格品，有C3C197种抽法；第二类，取出的5件产品有3件次品2件合格品，有C3C197种抽法．因此共有(C3C197＋C3C197)种抽法．
3．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．
5×4123
解析：根据题意，知所有可能的决赛结果有C6C5C3＝6××1＝60(种)．
2答案：60
4．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表
- 3 -
32
23
32
示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．
解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有C9C5＝126种走法，故从
45
A地到B地的最短路线共有126条．
答案：126
5．若Cn＞Cn，则n的集合是________．
??Cn＞Cn，
，∴?
?n≥6，?
4
6
4
6
解析：∵C
4
n＞C
6
n
n！n！??＞，4！?n－4?！6！?n－6?！????n≥6，
?
??n－9n－10＜0，
?
?n≥6，?
*
2
??－1＜n＜10，
??
?n≥6.?
∵n∈N，∴n＝6,7,8,9.∴n的集合为{6,7,8,9}． 答案：{6,7,8,9}
6．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？
解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的数的个数为C6＝
3
6×5×4
＝20.
3×2×1
7．(1)在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌．一名参赛者可能得到多少手不同的牌(用排列数或组合数表示)?
(2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？
解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作为一组的组合问题，共有C52种不同的可能．即一名参赛者可能得到C52手不同的牌．
(2)需分两步：
第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C12种选法； 第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C7种选法． 根据分步乘法计数原理，此人有C12·C7＝17 325种不同的投资方式．
- 4 -
8
4
48
13
13
- 5 -
相关推荐：
loading