江苏省扬州中学2018—2019学年第二学期期中卷
高 一 数 学 2019.4
一、选择题（每小题5分，合计50分）
1．若直线过点(3,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为（ ★ ） A．y＝
333x－4 B. y＝x＋4 C . y＝3x－6 D. y＝x＋2 333 2. 不等式
2?x?0的解集为（ ★ ） x?1A. xx??2或x?1 B. x?2?x?1 C. xx??1或x?2 D. x?1?x?2 3．如果A(3, 1)、B(－2, k)、C(8, 11)在同一直线上，那么k的值是（ ★ ） A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 4．下列四个命题中错误的是( ★ )
A．若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面 B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
5. 在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ ★ ）
A．无解
B．一解
C． 二解
D．不能确定
6．设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
α∥β?α⊥β?m⊥α?m∥n?????
?????m∥α.其中正确的①?β∥γ；②?m⊥β；③?α⊥β；④????α∥γ? m∥α?m∥β?n?α?命题是( ★ ) A．①④ C．①③
B．②③ D．②④
????????
7. 在△ABC中，若acosA?bcosB，则△ABC的形状是（ ★ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的 余弦值是( ★ )
1101022A. B. C. D. 310539．已知b>a>0且a＋b=1，则有 （ ★ ） A． b?a?b?2ab? C． a?b?b?222211?a B． b?a2?b2??2ab?a 2211?a?2ab D． a2＋b2＞b＞a＞＞2ab
2210．三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB?BC，AB?BC?AA1?2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ★ ）
A．48? B．32? C．12? D．8? 二、填空题（每小题5分，合计30分）. 11．不等式?x2?6x?8?0的解集为___▲____.
12．若圆锥的母线长是5，高是 4，则该圆锥的体积是__▲____.
13．过点P(2,?1)，在x轴上和y轴上的截距分别是a,b且满足a?3b的直线方程为
___▲____.
14. 若钝角三角形ABC三边长分别是a,a?1,a?2(a?N)，则三角形ABC的周长为__▲___. 15．已知直线l:mx?y?3?2m?0(m?R),则l恒过定点___▲____.
16. 在?ABC中，若sinC?2cosAcosB，则sin2A?sin2B的最小值为_ ▲ _. 三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）
17．(5分+5分)在直三棱柱ABC?A1B1C1中, AB?BC, D为棱CC1上任一点. (1)求证：直线A1B1∥平面ABD； (2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
18. (4分+8分)在锐角△ABC中，已知sinA?22. 3(1) 求cos(B?C)的值； (2) 若a?2，S△ABC?2，求b的值.
19. (6分+6分)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=DB，点C为圆O上一点，且BC=（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．
20．(4分+8分)直线l过点P(?2,1)且斜率为k(k＞1)，将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得直线m，若直线l和m分别与y轴交于Q，R两点．（1）用k表示直线m的斜率；（2）当k为何值时，?PQR的面积最小？并求出面积最小时直线l的方程．
21．(4分+8分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧⌒BCπ
组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为．若在半圆弧⌒BC，线段AC，线段AB上各建一个
3ππ
观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（≤θ＜）．
32（1）试用θ表示BD的长；
（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.
D B F A C E (第21题图)
2x?122. (6分+6分)已知函数f(x)?x,
2?1（1）若存在???0,取值范围；
x?x（2）若函数g(x)满足f(x)??g(x)?2??2?2，若对任意x?R且x?0，不等式
???22f(sin??sin?)?f(2sin??k)有解，求实数k的 ，使得不等式?2??g(2x)≥m?g(x)?10恒成立，求实数m的最大值．
命题、校对: 凌卫红、江金彪、徐孝慧等
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