19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF
（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；
（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出
和平面DAB的法向量，则|cos＜
＞|即为所求． 【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB?平面ABC， ∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF?平面DEF，DE∩DF=D， ∴AB⊥平面DEF， 又∵AB?平面ABD， ∴平面ABD⊥平面DEF．
（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE=∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=
．
=2．
以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（，﹣1，0）． ∴=（0，﹣2，﹣2），=（，﹣1，﹣2），=（，﹣1，0）． 设平面DAB的法向量为=（x，y，z）． 则
，∴
，令z=1，得=（
，﹣1，1）．
∴=2，||=，||=2，
∴cos＜＞==．
∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为．
20．已知椭圆
的左右焦点分别为F1，F2，离心率为．
，点M在椭
圆上，且满足MF2⊥x轴，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（I）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及两点的距离公式，解方程可得椭圆方程；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+2代入椭圆，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得三角形的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值． 【解答】解：（I）由已知得可得a2=3c2，b2=2c2， 得椭圆方程为
，
，又由a2=b2+c2，
因为点M在第一象限且MF2⊥x轴， 可得M的坐标为由
， ，解得c=1，
所以椭圆方程为；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
将y=kx+2代入椭圆，可得（3k2+2）x2+12kx+6=0，
由△＞0，即144k2﹣24（3k2+2）＞0，可得3k2﹣2＞0， 则有
所以，
因为直线y=kx+2与轴交点的坐标为（0，2），
所以△OAB的面积
令3k2﹣2=t，由①知t∈（0，+∞）， 可得
，
，
所以t=4时，面积最大为．
21．已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值g（a）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件． 【分析】（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）先研究f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得． 【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，
由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0， ∴a=﹣1
∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1 令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e 令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e 令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0
∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数， （Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a， ∵x∈[﹣e2，﹣e﹣1]， ∴﹣x∈[e﹣1，e2]，
∴ln（﹣x）∈[﹣1，2]，
①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是增函数， fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1
②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是减函数， fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2
③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a ∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，
∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0 ∴f（x）在（﹣∞，﹣e）[﹣e2，﹣e﹣1]上左增右减， ∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，
综上：
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙O于F．
（Ⅰ）求证：EB=2ED；
（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．
【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定． 【分析】（Ⅰ）根据圆内接四边形的性质，可得∠EAD=∠C，进而可得△AED∽△CEB，结合相似三角形的性质及已知可得结论；
（Ⅱ）根据切割线定理可得EF2=ED?EC=EA?EB，设DE=x，由AB=2，CD=5构造方程，解得DE，进而可得EF长． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAD=∠C，
又∵∠DEA=∠BEC， ∴△AED∽△CEB，
∴ED：EB=AD：BC=1：2， 即EB=2ED； 解：（Ⅱ）∵EF切⊙O于F． ∴EF2=ED?EC=EA?EB，
设DE=x，则由AB=2，CD=5得： x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3， ∴EF2=24，即EF=2
23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：
（t为参数），两曲线
相交于M，N两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，写出曲线C的直角坐标方程；用代入法消去参数求得直线l的普通方程．
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