14．若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 8 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大， 此时z最大． 由
，解得
，即A（3，2）
将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y， 得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8． 故答案为：8．
15．曲线f（x）=x3﹣x+2在点（1，f（1））处的切线方程为 y=2x ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程． 【解答】解：f（x）=x3﹣x+2的导数为f′（x）=3x2﹣1， 即有在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，2）， 则在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2=2（x﹣1）， 即为y=2x．
故答案为：y=2x．
16．关于x的不等式ax2﹣2ax+1≥0的解集为R，则实数a的取值范围为 [0，1] ． 【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】对a分类讨论，利用一元二次不等式的解集与△的关系即可得出． 【解答】解：a≠0时，由题意得
，
即，
解得0＜a≤1；
当a=0时，恒有1≥0，不等式也成立； 综上所述，a的取值范围是[0，1]． 故答案为：[0，1]．
三、解答题（本大题6小题，共70分，）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，5a4+4a5=﹣22，S6=2a4﹣5 （1）求数列{an}的通项公式； （2）设
，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和． 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式列出方程，解出a1，d，解出即可得出． （2）
=
﹣n，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵5a4+4a5=﹣22，S6=2a4﹣5， ∴
，解得a1=1，d=﹣1．
∴an=1﹣（n﹣1）=2﹣n． （2）
=
﹣n，
∴数列{bn}的前n项和Tn=
﹣=﹣．
18．△ABC中，a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，2b=c+2acosC． （1）求A
（2）S△ABC=，a=，求b+c． 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2cosAsinC，由C为三角形内角，sinC≠0，解得cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值． （2）利用已知即三角形面积公式可求bc=4，利用余弦定理可得13=（b+c）2﹣12，即可得解b+c的值． 【解答】解：（1）∵2b=c+2acosC．
∴由正弦定理可得：2sinB=sinC+2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC， ∴可得：sinC=2cosAsinC，
∵C为三角形内角，sinC≠0，解得cosA=，A∈（0，π）， ∴A=
．
=
，
（2）∵S△ABC=bcsinA=×bc×∴解得：bc=4， ∵A=
，a=
，
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：13=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12， ∴解得：b+c=5．
19．已知函数f（x）=mx3﹣nx2+kx（m≠0）在x=1，x=﹣1时取得极值，且f（1）=﹣1 （1）求常数m，n，k的值； （2）求函数的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出函数的导函数，利用函数的极值点，以及函数在列出方程求解即可． （2）求出函数的导数，利用极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求出单调区间．
【解答】解：（1）函数f（x）=mx3﹣nx2+kx，可得f′（x）=3mx2﹣2nx+k， 在x=1，x=﹣1时取得极值，且f（1）=﹣1
可得，解得m=，k=，n=0．
得
（2）由（1）得所以
，…
，
．
令f′（x）=0得x=±1． 当x变化时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
﹣1 x 1 （﹣∞，﹣1）（﹣1，1） （1，+∞） f′（x） + 0 0 ﹣ + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当x=﹣1时，f（x）有极大值f（﹣1）=1； 当x=1时，f（x）有极小值f（1）=﹣1． 所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调递减区间是（﹣1，1）．
20．P（，1）是双曲线
上的一点，且|PF1|﹣|PF2|=2，若抛物线的顶点是
双曲线的中心，焦点是双曲线的右顶点．
（1）求双曲线的渐近线与抛物线的准线方程；
（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）利用双曲线的定义求出a，经过的点，求出b，即可求解双曲线x2﹣y2=1，利用双曲线与抛物线的关系求出抛物线方程．
（2）由于以点C（2，1）为MN中点的直线l斜率必存在，设为k（k≠0），将l的方程与抛物线的方程y2=4x联立，消去x，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理求出k，得到直线l的方程． 【解答】解：（1）P（
，1）是双曲线
上的一点，且|PF1|﹣|PF2|=2，可得
a=1，，
解得：b=1，双曲线x2﹣y2=1． 抛物线的顶点是双曲线
的中心，焦点是双曲线的右顶点．
可得p=2，
抛物线的标准方程为y2=4x．…
（2）使得C恰为弦MN的中点的直线存在．理由如下：
由于以点C（2，1）为MN中点的直线l斜率必存在，设为k（k≠0），则l的方程为：y﹣1=k（x﹣2），即y=kx+1﹣2k．将l的方程与抛物线的方程y2=4x联立，消去x得：ky2﹣4y+4﹣8k=0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1，y2是方程①的解． 且y1+y2=2，又由韦达定理得
，∴
，∴k=2．
经验证k=2时，方程①的△＞0成立，∴直线l的方程为2x﹣y﹣3=0．
21．已知椭圆（1）求椭圆的方程；
（2）若y=kx+m与x2+y2=相切，与椭圆交于A，B两点，当A，B两点横坐标不相等时，证明以AB为直径的圆恰过原点O．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
短轴长2，离心率
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