∴
CDADAC
＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4） OAABOB
15
当x＝－3时，y＝39－3(－3)＝4．
66
15
∴ 点C在抛物线y＝x2－x上．
66
（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切．
过点P作PF⊥x轴于点F，连结O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H． ∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)，
1
∴ O1是BC的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH＝DH＝AD＝4，
2 ∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得O1H＝7． ∴ 点O1的坐标为(1，7)． ∵ BC⊥OC， ∴ OC为⊙O1的切线．
又∵OP为⊙O1的切线， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5．
∴ 四边形OPO1C为正方形． ∴ ∠COP＝900． ∴ ∠POF＝∠OCD． 又∵∠PFD＝∠ODC＝90°， ∴ △POF≌△OCD．
∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)． 设直线O1P的解析式为y＝kx+B(k≠0)． 把O1(1，7)、P(4，3)分别代人y＝kx+B，
4?k??，??k?b?7，?3得? 解得? ?4k?b?3．?b?25．?3?425
∴ 直线O1P的解析式为y＝－x＋．
33
若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物42515
线的交点，可设点Q的坐标为(m，n)，则有n＝－m＋，n＝m2－M
3366
42515
∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，
3366－3±209解得m＝ 2
－3＋209－3－209
∴ 点Q的横坐标为或．
22
4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线
一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一
动点，求△CMN面积的最大值．
第22题图
yDCEAOBx=4x
【答案】解：（1）点C的坐标(2,23)．设抛物线的函数关系式为y?a(x?4)2?m，
?16a?m?0383则?，解得a??,m?.
63?4a?m?23∴所求抛物线的函数关系式为y??36(x?4)?2833????①
??4k?b?0343设直线AC的函数关系式为y?kx?b,则?，解得k?． ,b?33?2k?b?23∴直线AC的函数关系式为y?33x?433，∴点E的坐标为(4,83) 3把x=4代入①式，得y??38383，∴此抛物线过E点． (4?4)2??633111（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于
G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=(8?x)?y?(y?23)(x?2)??(8?2)?23 222=3y?3x?83?3(?36x?2433x)?3x?83??32x?53x?83 2=?32(x?5)?2932,
∴当x=5时，S△CMN有最大值932
5．（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y＝?12x?x?3与x轴交于点A、B，与y轴4相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。 （1）求直线BC的解析式；
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。 ①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交 ，求r的取值范围；
②若r=
45，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存5在，请说明理由．
?b4ac?b2?b?提示：抛物线y＝ax?bx?c(a?0)的顶点坐标??，对称轴x＝. ,?2a2a4a??2
图（十四）
【答案】解（1）令y=0，求得A点坐标为（－2，0），B点坐标为（6，0）； 令x＝0，求得C点的坐标为（0，3）
?6k?b?01设BC直线为y＝kx＋b，把B、C点的坐标代入得：? 解得k＝?，b=3
2?b?3故BC的解析式为：y=?1x＋3 2（2）①过点D（2，4）作DG⊥BC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF＝2，FB＝4，EB＝2
5，DE＝2，从图中可知，
Rt?DEG?Rt?BEF，所以有：
动到点D时，⊙P与直线BC相交
DEDG4545? 解得DG＝ 故当r＞，点P运EBFB55
②由①知，直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y＝?1x212?y??x?x?3??4＋n，把点D的坐标代入，求得n＝5，所以联立：? 解得两点（2，4）
1?y??x?5??2为D点，（4，3）也符合条件。
设在直线BC下方到直线BC的距离为
45的直线m与x轴交于点M，过点M作MN⊥BC5于点N，所以MN=
4585OC1? 所以NB=，又tan∠NBM＝，BM＝4，所以点M与OB25511x＋b 把点F的坐标，代入得：0＝?32＋b 得b=1，所
221以直线m的解析式为：y＝?ｘ+１
2点F重合。设直线m为y=?12?y??x?x?3??4联立方程组：? 解得：ｘ＝3?17
?y??1x?1??2所以适合要求的点还有两点即（3－17，?1?17?1?17）与（3＋17，） 22故当r=45，存在点P使⊙P与直线BC相切，符合条件的点P有四个，即是D（2，5
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