学科:数学
教学内容:质数和合数,分解质因数
呈现目标
【知识要点归纳】 1.质数和合数
(1)一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数)。如7和11都是质数。
(2)一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,如:9和12都是合数。
①1既不是质数,也不是合数。
②自然数除了1,其他的数不是质数就是合数。
③自然数是无限的,因此质数和合数也都是无限的。 (3)判断一个数是合数还是质数的方法。
先找各数的约数,再根据质数和合数的意义去判断。判断一个数是不是质数,还可以查质数表,凡是质数表中有的数就是质数。
2.分解质因数
(1)质因数的意义。
每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。
(2)分解质因数的意义。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。如:6=2×3,24=2×2×2×3。
(3)分解质因数的方法。
①分解质因数时,通常用短除法。短除法是除法的简化。如:
②用短除法分解质因数,除数一定要用质数,应按照质数从小到大的顺序,看被除数能被哪个质数整除,就用这个质数去除,直到除得的商也是质数为止。如:
用短除法把180分解质因数:
名师点拨
【典型范例剖析】
例1 一个正方形的面积是1225平方厘米,这个正方形的边长是多少厘米? 分析:因为正方形的面积是“边长乘以边长”,将1225分解质因数,再把质因数分成相同的两组,就可以求出这个正方形的边长。
解:把1225分解质因数: 1225=5×5×7×7
变形为:1225=(5×7)×(5×7)=35×35 因此,这个正方形的边长为:35厘米。
1
答:这个正方形的边长为35厘米。
例2 在10—150中找出两个自然数,使它们的积等于77与195的积。这两个数是多少?
分析:根据题意,先把77与195分解质因数,再分别找出其中几个质因数相乘的积在100—150之间的两个自然数。
解:把77与195的积分解质因数: 77×195=3×5×7×11×13 =(3×5×7)×(11×13) =105×143
答:这两个数分别是105和143。
【解题技巧指点】
1.在质数和合数的问题上,容易出现如下错误判断。
(1)所有的奇数都是质数。这个说法显然是错误的。因为象9、5、21等都是奇数,但它们却是合数,因此,奇数不一定是质数。
(2)所有的偶数都是合数。这种说法也不对。因为2这个数是偶数,但它就不是合数而是质数。
(3)自然数中除了质数都是合数。这种说法也不对,因为自然数中,1既不是质数,也不是合数。正确的说法是:自然数中,除0.1以外,不是质数就是合数。
2.分解质因数时要注意以下几点:
(1)连乘式中不能出现合数,因数必须都是质数。如: 错误:36=2×3×6(6是合数) 正确:36=2×2×3×3
(2)连乘式中不能出现1,因为1不是质数。如: 错误:12=2×2×3×1 正确:12=2×2×3
(3)合数用质数连乘的形式表示,不能写成乘法算式。如: 2×2×2×3=24是错误的写法。
【课本难题解答】 练习十三第17题
分析:用1、5、6在三个数字可以组6个三位数。判断哪些数含有质因数3,又含有质因数5和哪些数含有质因数2又含有质因数3时,要先把每个数分解质因数。
解:用1、5、6可以排列成下面6个三位数: 156、165、516、561、615、651。
其中165和615既含有质因数3,又含有质因数5;156和516既含有质因数2,又含有质因数3。
练习十三第18题
分析:因为3、5、7三个质数相乘就超过100了,所以三个不同的质数不能都大于3。这样100以内是3个不同质数的乘积的数有:2×3×5=30,2×3×7=42,2×3×11=66,2×5×7=70,即30、42、66、70这四个数。
解:有30、42、66、70这四个数。
能力拓展
【发散思维导训】
导 一个两位质数,交换个位与十位上的数字,所得的两位数仍是质数,写出这样的两位数。
分析:两位质数有11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,显然,交换个位与十位上的数字,所得的两位数仍是质数的有9个数。
解:这样的两位数有11、13、17、31、37、71、73、79、97。
2
训1 A是小于10的一个质数,A+40是质数,A+80也是质数人是多少?
训2 A和 B都是质数,A+B小于100且是 7的倍数,如果 A+B又是奇数,那么A×B是多少?
【作业优化设计】 1.填空。
(1)一个数( ),这样的数叫做质数。 (2)一个数( ),这样的数叫做合数。 (3)20以内的质数有( )。 (4)把一个合数( ),叫做分解质因数。 (5)一个数既是18的约数,又是18的倍数,把它写成两个质数相加的形式是( )或( )。
(6)最小的合数是( ),最小的质数是( ),既是偶数又是质数的数( ),即是奇数又是合数的数最小是( )。
(7)10以内所有质数的积减去最小的三位数,差是( )。 (8)20以内差为1的两个合数有( )和( ),( )和( ),( )和( ),( )和( )四对。
(9)一个两位数质数,它个位上的数与十位上的数交换位置后,仍是一个质数。这样的数有( )。
(10)把下面两个数写成几个质数和的形式: 15=( )+( )
20=( )十( )=( )+( ) 2.判断。(对的打“√”,错的打“×”) (1)自然数不是质数就是合数。( )
(2)所有的质数都是奇数,所有的合数都是偶数。( ) (3)把24分解质因数可以写成 24=1×2×2×2×3。( ) (4)两个数的全部质因数相同,这两个数一定相同。( ) (5)只有两个约数的数,一定是质数。( )
(6)两个自然数的和一定是合数,两个质数的和一定是偶数。( ) (7)2和5都是质因数。( )
(8)1是自然数,但它不是质数,也不是合数。( ) (9)合数有3个约数。( ) (10)质数只有两个约数。( ) 3.按要求写数。
(1)一个四位数,个位上的数既不是质数也不是合数,十位上的数既是质数又是偶数,百位上的数是最小的合数,千位上的数既是奇数又是合数,这个四位数是( )。
(2)能同时被3、5整除的最小的三位数是( )。
(3)两个质数和为18,积是65,这两个质数是( )和( )。 4.选择题。
(1)把36分解质因数可以写成( )。
①36=4×9 ②36=1×2×3×2×3 ③36=2×3×2×3
(2)因为210=2×3×5×7,所以说( )。 ①210有四个不同的约数
3
②210有四个不同的质数 ③210有四个不同的质因数
(3)下面各式中属于分解质因数的是( )。 ①42=2×3×7 ②12=3×4 ③54=2×3×3×3×1 ④2×2×5=20
(4)最小的质数乘以最小的合数,积是( )。 ①4 ②6 ③8 ④10 (5)自然数按约数的个数分,可以分为( )。 ①质数和合数 ②奇数和偶数 ③质数、合数和0 ④质数、合数和1 (6)质数与质数的积是( )。
①合数 ②质数 ③可能是质数、可能是合数。 (7)9和7叫63的( )。
①因数 ②质因数 ③质数
(8)a是质数、b是合数,下列说法正确的是( )。 ①a有1个约数而b有3个约数。 ②a有2个约数而b不止一个约数。
③a至少有两个约数而b至少有三个约数。 ④a至多有两个约数而b至多有三个约数。 (9)37×( )的积是质数。
①1 ②可以是1,也可以是别的数 ③质数 5.用短除法把下列各数分解质因数。
120 14 132 1001 273
快乐大本营
完成下面的算式。
参考答案
1.(1)只有1和它本身两个约数 (2)除了1和它本身两个约数外,还有别的约数 (3)2 3 5 7 11 13 17 19 (4)分解成质数连乘的形式 (5)11+7 13+5 (6)4 2 2 9 (7)2000 (8)8和9 14和15 15和16 9和10 (9)11 13 17 37 79 (10)15=2+13 20=17+3=13+7
2.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)× (7)× (8)√ (9)× (10)√
3.(1)9421 (2)105 (3)13和5
4.(1)③ (2)③ (3)① (4)③ (5)④ (6)① (7)① (8)② (9)① 5.略
快乐大本营 1 1 2
× 2 3 3 3 6 2 2 4 2 5 7 6
4
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