误差传递公式

误差传递公式的推导

设间接测得量N?f(x1,x2,x3)，式中x1,x2,x3均为彼此相互独立的直接测得量，每一直接测得量为等精度多次测量，且只含随机误差，那么间接测得量N的最可信赖值（用平均值N表示）为

N?f(x1,x2,x3)

①算术合成法求误差传递公式 绝对误差传递公式：

?N??f?f?f?x1??x2??x3 ?x1?x2?x3相对误差传递公式：

?N?lnf?lnf?lnf??x1??x2??x3N?x1?x2?x3②方和根合成法求标准偏差传递公式

标准偏差传递公式：

??f?2??f?2??f?2SN????x??Sx1????x??Sx2????x??Sx3

?1??2??3?相对偏差传递公式：

222??lnfSN????xN1?

例1：已知z?a?b?误差传递公式。 解：平均值：z?a?b??2??lnf??Sx1????x2??2?2??lnf??Sx2????x3??2?2??Sx3 ?21c,其中a?a??a，b?b??b，c?c??c，求z的平均值和31c； 3z分别对各直接量求一阶偏导数：

?z?z?z1?1，?1，??， ?a?b?c3得误差传递公式：

?z?

?z?z?z1?a??b??c??a??b??c。 ?a?b?c3例2：已知??误差传递公式。

4m，其中m?m??m，d?d??d，h?h??h，求h的平均值和?d2h解：平均值：?? 对公式??4m?dh2；

4m两边取自然对数： ?d2h4ln??ln?lnm?2lnd?lnh，

? ln?分别对各直接量求一阶偏导数：

?ln?1?ln?2?ln?1?，??，??， ?mm?dd?hh 得误差传递公式：

?????ln??ln??ln?121?m??d??h??m??d??h。 ?m?d?hmdh1c,其中a?a?Sa，b?b?Sb，c?c?Sc，求z的平均值和标3例3：已知z?a?b?准偏差传递公式。 解：z?a?b?1c； 3?z?z?z1?1，?1，??， ?a?b?c32221??z???z???z?2Sa???Sb???Sc??Sa?Sb2?Sc2。 Sz??9??a???b???c?例4：已知??4m，其中m?m?Sm，d?d?Sd，h?h?Sh，求h的平均值和标2?dh准偏差传递公式。 解：??4m?dh2；

ln??ln4??lnm?2lnd?lnh，

?ln?1?ln?2?ln?1?，??，?? ?mm?dd?hhS?

??ln????ln????ln???S??2??S???Sm???Sd???Sh???m???Sd???h? ???m???d???h??m??d??h?222222