2020年重庆赛区预赛数学试题及其参考答案

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2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题参考答案

一、填空题

1. 已知向量a，b满足a?b?3,a?2b?6,a2?a?b?2b2??9, 则b? . 答案：7

解析：由条件，知a?a?b?2b??a?b???a?2b???9，所以3b??a?2b???a?b?

22???a?2b???a?b??2??a?2b?2??a?b?2?2?a?2b???a?b??63?37，所以b?7.

2，3，4?均为实数，若集合{a1,a2,a3,a4}的所有非空真子集的元素之和为28，则2. 设ai?i?1，a1?a2?a3?a4? .

答案：4

2，3，4?的非空真子集有7个，所以I?{a1,a2,a3,a4}的所有非空真子集的元素之和为解析：含有元素ai?i?1，7?a1?a2?a3?a4??28，从而a1?a2?a3?a4?4.

33. 若二次实系数方程ax2?bx?c?0有2个虚根x1,x2，且x1?R，则

ac? . 2b答案：1

333解析：注意x2?x1，由x1?R?x1?x1?x1??332?x2??x1?x2?x12?x1x2?x2?0

???x?x1x2?x?0??x1?x2?21222cac?b??x1x2??????b2?ac?2?1.

ab?a?224. 设圆O:x2?y2?5与抛物线C:y?2px?p?0?交于点A?x0,2?，AB为圆O的直径，过B的直线与C交于两不同点D,E，则直线AD与AE的斜率之积为 . 答案：2

解析：可求得点A?1,2?,B??1,?2?，设D?x1,y1?,E?x2,y2?，则由B,D,E三点共线可得

y?2y2?216y1?2y2?2???2. ??y1y2?2?y1?y2??4 ?kAD?kAE?1x1?1x2?1y1y2?2?y1?y2??4x1?1x2?15. 若实数x,y满足2x?2x?4?log2?y?1??3y?6?0，则x?y? . 答案：?1

解析：令s?x?1，则2x?2x?4?0?2s??s?3；令t?y?1，则log2?y?1??3y?6?0?log2t??t?3.

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