2019高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形学案 理

[解] (1)由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1， 得2(sinAsinC－cosAcosC)＝1， 1

即cos(A＋C)＝－，

21

∴cosB＝－cos(A＋C)＝，

2π

又0

3

a2＋c2－b21

(2)由余弦定理得cosB＝＝，

2ac2

?a＋c?－2ac－b133

∴＝，又a＋c＝，b＝3，

2ac22275

∴－2ac－3＝ac，即ac＝， 44115353∴S△ABC＝acsinB＝××＝. 224216

33

[探究追问1] 若本例第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC＝”，试求a＋c的值．

2133

[解] 由已知S△ABC＝acsinB＝，

221333

∴ac×＝，则ac＝6. 222

由余弦定理，得b＝a＋c－2accosB＝(a＋c)－3ac， 所以(a＋c)＝b＋3ac＝21，所以a＋c＝21.

[探究追问2] 在本例条件下，若b＝3，求△ABC面积的最大值． [解] 由余弦定理，得b＝a＋c－2accosB＝a＋c－ac，

则3＝a＋c－ac≥2ac－ac，所以ac≤3(当且仅当a＝c＝3时取等号)．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5

11π33

所以S△ABC＝acsinB≤×3×sin＝.

223433

故△ABC面积的最大值为.

4

利用正、余弦定理解三角形应注意的3点

(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．

(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形．

1

(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝absinC形式的面

2积公式．

[对点训练]

1．[角度1]在△ABC中，若(a＋b)sin(A－B)＝(a－b)·sin(A＋B)，则△ABC的形状为( )

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

[解析] 因为(a＋b)sin(A－B)＝(a－b)sin(A＋B)， 所以b[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a[sin(A＋B)－ sin(A－B)]．

所以acosAsinB＝bsinAcosB.

解法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB， 所以sinAcosAsinB＝sinBsinAcosB.

又sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB， 所以sin2A＝sin2B.

在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， 所以2A＝2B或2A＝π－2B， π

所以A＝B或A＋B＝.

2

所以△ABC为等腰或直角三角形． 解法二：由正弦定理、余弦定理得：

6

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b2＋c2－a22a2＋c2－b2ab＝ba，

2bc2ac2

所以a(b＋c－a)＝b(a＋c－b)， 所以(a－b)(a＋b－c)＝0， 所以a－b＝0或a＋b－c＝0， 即a＝b或a＋b＝c.

所以△ABC为等腰或直角三角形． [答案] C

2．[角度2](2018·河南、河北重点中学第三次联考)

如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2,2ccosC＝b，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22222222

D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.

(1)求线段AD的长； (2)求△ADE的面积．

b1[解] (1)因为c＝4，b＝2,2ccosC＝b，所以cosC＝＝. 2c4a2＋b2－c2a2＋4－161

由余弦定理得cosC＝＝＝，

2ab4a4

所以a＝4，即BC＝4. 在△ACD中，CD＝2，AC＝2，

所以AD＝AC＋CD－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝6. (2)因为AE是∠BAC的平分线，

1

AB·AE·sin∠BAES△ABE2AB所以＝＝＝2，

S△ACE1ACAC·AE·sin∠CAE2又

2

2

2

S△ABEBEBE＝，所以＝2， S△ACEECEC1442所以CE＝BC＝，DE＝2－＝.

3333

1152

又因为cosC＝，所以sinC＝1－cosC＝.

44115

所以S△ADE＝×DE×AC×sinC＝.

26

7

考点三 正、余弦定理的实际应用

1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

[对点训练]

1．(2018·广东省五校协作体高三一诊)

如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.

[解析] 由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得

50DB＝，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－

sin30°sin15°

25252?3－1?25252?3－1?

30°)＝252(3－1)，又＝，即＝，得到cosθ

sin45°sin?90°＋θ?sin45°cosθ＝3－1.

[答案]

3－1

2．(2018·福州综合质量检测)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s.(精确到0.1)

8