中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数a1,a2,L,an满足a1?a2?L?an?0，求证：

n2max(ak)?1?k?n3??ai?ai?1?i?1n?12．

证明 只需对任意1?k?n，证明不等式成立即可． 记dk?ak?ak?1,k?1,2,L,n?1，则

ak?ak，

ak?1?ak?dk，ak?2?ak?dk?dk?1,L,an?ak?dk?dk?1?L?dn?1， ak?1?ak?dk?1,ak?2?ak?dk?1?dk?2,L,a1?ak?dk?1?dk?2?L?d1，

把上面这n个等式相加，并利用a1?a2?L?an?0可得

nak?(n?k)dk?(n?k?1)dk?1?L?dn?1?(k?1)dk?1?(k?2)dk?2?L?d1?0．

由Cauchy 不等式可得

(nak)2??(n?k)dk?(n?k?1)dk?1?L?dn?1?(k?1)dk?1?(k?2)dk?2?L?d1?

2?k?12n?k2??n?12????i??i???di?

i?1?i?1??i?1??n?12??n?12?n(n?1)(2n?1)?n?12????i???di??di? ??6?i?1??i?1??i?1?n3?n?12????di?， 3?i?1?na?所以

32k??ai?ai?1?．

2i?1n?1

aaa二、正整数a1,a2,L,a2006（可以有相同的）使得1,2,L,2005两

a2a3a2006两不相等．问：a1,a2,L,a2006中最少有多少个不同的数？

解 答案：a1,a2,L,a2006中最少有46个互不相同的数． 由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故a1,a2,L,a2006中互不相同的数大于45．

下面构造一个例子，说明46是可以取到的．

设p1,p2,L,p46为46个互不相同的素数，构造a1,a2,L,a2006如下：

p1,p1,p2,p1,p3,p2,p3,p1,p4,p3,p4,p2,p4,p1,L， p1,pk,pk?1,pk,pk?2,pk,L,pk,p2,pk,p1,L， p1,p45,p44,p45,p43,p45,L,p45,p2,p45,p1， p46,p45,p46,p44,p46,L,p46,p22,p46，

这2006个正整数满足要求．

所以a1,a2,L,a2006中最少有46个互不相同的数．

2三、正整数m，n，k满足：mn?k?k?3，证明不定方程

x2?11y2?4m

22和 x?11y?4n

中至少有一个有奇数解(x,y)． 证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程

22 x?11y?4m ①

或有奇数解(x0,y0)，或有满足

x0?(2k?1)y0(modm)

②

的偶数解(x0,y0)，其中k是整数．

引理的证明 考虑如下表示

x?(2k?1)y x,y为整数，且0?x?2m ,0?y?m， 2