3答案： 1
4
15．已知P(x，y)是抛物线y＝4x上的点，则
2
2
x－
2
＋y－
2
－x的最大值是________．
解析：由题意得抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，所以|PF|＝x＋1，则x＝|PF|－1.设点A(3,2)，则
x－
2
＋y－
2
－x＝|PA|－(|PF|－1)＝|PA|－|PF|＋1，由图
结合三角形的性质易得当P，F，A三点自下而上依次共线时，|PA|－|PF|取得最大值|AF|＝22＋1.
答案：22＋1
－
2
＋－
2
＝22，所以x－3
2
＋y－
2
－x的最大值为
x－2y＋4≥0，??
16．过P(－1,1)的光线经x轴上点A反射后，经过不等式组?x＋y－2≥0，
??3x＋y－9≤0
平面区域内某点(记为B)，则|PA|＋|AB|的取值范围是________．
所表示的
解析：由题意得点P(－1,1)关于x轴的对称点为P1(－1，－1)，则|PA|＋|PB|的取值范围等
x－2y＋4≥0，
??x＋y－2≥0，
价于点P(－1，－1)与不等式组?3x＋y－9≤0，
??y≥0
1
表示的平面区域内的点的连线的长度的
范围，如图，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域(阴影区域，含边界)，
|－1－1－2|
由图易得点P1(－1，－1)到直线x＋y－2＝0的距离最小，最小值为＝22；点22
1＋1
P1(－1，－1)与点C(2，3)的距离最大，最大值为
取值范围为[22，5]．
答案：[22，5]
＋
2＋＋
2＝5.所以|PA|＋|PB|的
17．已知非负实数x，y满足2x＋4xy＋2y＋xy＝9，则22(x＋y)＋xy的最大值为________． 解析：由2x＋4xy＋2y＋xy2
2
22
2222
??u＝x＋y，
＝9得2(x＋y)＋xy＝9，令?
??v＝xy，
2
22
则x，y为方程t2
－ut＋v＝0(t为自变量)的两个根，则Δ＝u－4v≥0，即有2
u2
9
2
＋＝1，而9
v2
22(x＋y)＋xy＝22u＋v，以u为横坐标，v为纵坐标建立平面直角坐
标系，设z＝2
??uv2u＋v，则u，v的可行域为?＋＝1，
99??2
2
2
u2－4v≥0，
u2v2
作出可行域，
如图中椭圆的实线部分所示，
??uv由?＋＝1
99??2
2
2
u2－4v＝0，
?u＝±2，?
得???v＝1，
且点在(2,1)处，椭圆＋＝1的切线斜率为－4<－
992
22，所以当直线z＝22u＋v经过点(2,1)时，z取得最大值42＋1，所以22(x＋y)＋xy的最大值为42＋1.
答案：42＋1
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