数 学
H单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 14．、[2014·湖北卷] 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)
a＋b
的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)
2
为a，b的算术平均数．
(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；
2ab
(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.
a＋b
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
14．(1)x (2)x(或填(1)k1x；(2)k2x，其中k1，k2为正常数)
x22
20．[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦点为F，点A，
aB分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图1-7
(1)求双曲线C的方程；
x0x
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x
a3|MF|＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值． 2|NF|
20．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a2＋1.
cc11
，－?. 由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B?2a??2aa1
又直线OA的方程为y＝x，
ac?c?－?－2a?ac3
c，?，所以kAB＝则A?＝. ?a?ca
c－2
3?1?x222
又因为AB⊥OB，所以2?－a?＝－1，解得a＝3，故双曲线C的方程为－y＝1.
a3x0x－3x0x
(2)由(1)知a＝3，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y≠0)．
33y00
2x0－3?
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M?2，，直线l与直线
3y0??
3
x－3
3320x＝的交点为N，， 223y0
（2x0－3）2
（3y0）2（2x0－3）2|MF|2
则＝＝ 22＝|NF|2?3x0－3?9y0＋9（x0－2）2
?441?2
＋4（3y0）2（2x0－3）2422. 33y20＋3（x0－2）
x20又P(x0，y0)是C上一点，则－y20＝1， 3
2
（2x0－3）2|MF|244（2x0－3）4|MF|223
代入上式得＝2＝，所以＝＝，2＝22|NF|3x0－3＋3（x0－2）234x2|NF|330－12x0＋93
为定值．
x2y2
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与
ab长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
|TF|②当最小时，求点T的坐标．
|PQ|
?a2＋b2＝2b，
20．解：(1)由已知可得? 22?2c＝2a－b＝4，
解得a2＝6，b2＝2，
x2y2
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
62
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)， m－0
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
－3－（－2）
1
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
m当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
x＝my－2，??22
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得?xy
＋＝1.??62消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. －24m
所以y1＋y2＝2，y1y2＝2，
m＋3m＋3
－12
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝2.
m＋3设M为PQ的中点，则M点的坐标为?m
所以直线OM的斜率kOM＝－，
3m
又直线OT的斜率kOT＝－，
3所以点M在直线OT上， 因此OT平分线段PQ. ②由①可得，
|TF|＝m2＋1，
|PQ|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝（m2＋1）[（y1＋y2）2－4y1y2]
4m?2－2???2
＝（m＋1）?m2＋3－4·2?
?m＋3???24（m2＋1）
＝.
m2＋3|TF|所以＝
|PQ|
221（m＋3）·＝ 24m2＋1
?－6，2m?.
??m2＋3m2＋3?
41?2
m＋1＋2＋4?≥m＋1?24?
13
（4＋4）＝. 243
4|TF|
当且仅当m2＋1＝2，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
|PQ|m＋1|TF|
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
|PQ|
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点5
为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
4
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
8
21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，
p8pp8
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
p22p
p858
由题设得＋＝3，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
2p4p
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m，
1
所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
m将上式代入y2＝4x，
4
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
m设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
4
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
m22?2
2＋2m＋3，－故线段MN的中点为E?m?， ?m|MN|＝4（m2＋1）2m2＋111＋2|y3－y4|＝. mm21
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
211
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4422
2m＋?＋?2＋2?＝ 4(m＋1)＋?m??m??
2
2
2
2
4（m2＋1）2（2m2＋1）
，
m4化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
H3 圆的方程
x2
9．、[2014·福建卷] 设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，
10
2
2
Q两点间的最大距离是( )
A．52 B.46＋2 C．7＋2 D．62 9．D
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 10．、[2014·安徽卷] 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，→→
点Q满足OQ＝2(a＋b)．曲线C＝{P|OP＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则( )
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R 10．A
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