2020届新设计一轮复习数学（文）江苏专版：板块命题点专练（六） 简单的三角恒等变换及解三角形

板块命题点专练(六) 简单的三角恒等变换及解三角形

命题点一 简单的三角恒等变换

5π1

α－?＝，则tan α＝________. 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan?4?5?5ππtan α－11

α－?＝tan?α－?＝解析：tan?4???4?1＋tan α＝5， 3

解得tan α＝.

23

答案：

2

1

2．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．

7解析：tan β＝tan[(α＋β)－α] 1

－?－2?7tan?α＋β?－tan α

＝＝＝3.

11＋tan?α＋β?tan α

1＋×?－2?

7答案：3

π1

α－?＝，则tan α＝________. 3．(2017·江苏高考)若tan??4?6ππ1

α－?＋tantan?＋14??46ππ7??α－?＋＝解析：tan α＝tan??＝＝. ?4?4?π?π15?1－1－tan?α－4?tan647

答案：

5

4．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0， ②

∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， 1∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，

21

∴sin(α＋β)＝－. 21

答案：－ 2

1

5．(2018·全国卷Ⅲ改编)若sin α＝，则cos 2α＝________.

31?271

解析：∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×??3?＝9. 3

7

答案：

9

4π

6．(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.

54(1)求AB的长； π

A－?的值． (2)求cos??6?4

解：(1)因为cos B＝，0＜B＜π，

5所以sin B＝

1－cos2B＝

4?231－??5?＝5. ACAB

由正弦定理知＝，

sin Bsin C

AC·sin C

＝sin B

6×35

22

＝52.

所以AB＝

(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)， πB＋? 于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos??4?ππ＝－cos Bcos＋sin Bsin. 4443

又cos B＝，sin B＝，

55

42322

故cos A＝－×＋×＝－.

525210因为0＜A＜π，所以sin A＝1－cos2A＝

72. 10

πππA－?＝cos Acos＋sin Asin 因此，cos??6?66＝－

2372172－6×＋×＝. 10210220

457．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

35(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解：(1)因为tan α＝

sin α 4

＝， cos α 3

4

所以sin α＝cos α.

3因为sin2α＋cos2α＝1，

所以cos2α＝

9， 25

7

所以cos 2α＝2cos2α－1＝－. 25

(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－

5， 5

25

， 5

所以sin(α＋β)＝1－cos2?α＋β?＝所以tan(α＋β)＝－2. 4

因为tan α＝，

3所以 tan 2α＝

2tan α24

. 2＝－71－tanα

所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝

tan 2α－tan?α＋β?2

＝－.

111＋tan 2αtan?α＋β?

命题点二 解三角形

1．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．

解析：如图，

∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，

11111

∴ac·sin 120°＝c×1×sin 60°＋a×1×sin 60°，∴ac＝a＋c.∴＋＝1.

ac22211?c4a

∴4a＋c＝(4a＋c)??a＋c?＝a＋c＋5≥2 c4a

当且仅当a＝c，即c＝2a时取等号． 故4a＋c的最小值为9. 答案：9

2．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sin B＝__________，c＝________.

解析：由正弦定理

abb2321

＝，得sin B＝a·sin A＝×＝. sin Asin B772

c4a·＋5＝9， ac

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得7＝4＋c2－4c×cos 60°，

即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．

答案：

21 3 7

3．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．

解析：∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C， ∴由正弦定理得

sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C. 1又sin Bsin C＞0，∴sin A＝. 2

b2＋c2－a284

由余弦定理得cos A＝＝＝bc＞0，

2bc2bc∴cos A＝

3483，bc＝＝， 2cos A3

1183123

∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.

22323答案：

23 3

1

4．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－. 7(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

1

解：(1)在△ABC中，因为cos B＝－，

7所以sin B＝

1－cos2B＝

43

. 7

由正弦定理得sin A＝

asin B3

＝. b2

ππ

由题设知＜∠B＜π，所以0＜∠A＜.

22π

所以∠A＝.

3(2)在△ABC中，

因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B ＝

3?1?14333×－＋×＝， 2?7?2714

3333所以AC边上的高为asin C＝7×＝.

142

5．(2015·江苏高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60° (1)求BC的长；