(2)求sin 2C的值．
1
解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，
2所以BC＝7. (2)由正弦定理知，
ABBC
＝， sin Csin A
AB2sin 60°21
所以sin C＝BC·sin A＝＝. 77因为AB＜BC，所以C为锐角， 则cos C＝1－sin2C＝
327
1－＝. 77
212743
×＝. 777
因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×
6．(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aπ
B－?. ＝acos??6?
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． 解：(1)在△ABC中，
ab由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.
sin Asin BπB－?， 又因为bsin A＝acos??6?πB－?， 所以asin B＝acos??6?即sin B＝
31
cos B＋sin B， 22
所以tan B＝3.
π
因为B∈(0，π)，所以B＝. 3
π
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
3得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝7. π3B－?，可得sin A＝ . 由bsin A＝acos??6?7因为a＜c，所以cos A＝
2
. 743
， 7
所以sin 2A＝2sin Acos A＝
1
cos 2A＝2cos2A－1＝. 7
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B ＝
4311333
×－×＝. 727214
7．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索
道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，123经测量，cos A＝，cos C＝.
135
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
123
解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以
13554
sin A＝，sin C＝.
135
5312463
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 13513565ABACAC1 2604
由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
sin Csin Bsin B635
65所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×因0≤t≤
12
＝200(37t2－70t＋50)， 13
1 04035
，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短． 13037
BCACAC1 2605
(3)由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
sin Asin Bsin B6313
65乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C. 5007101 250625
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤v－≤3，解得≤v≤，所以5043141 250625?
为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在??43，14?(单
位：m/min)范围内．
命题点三 三角综合问题
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________． 解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1) ＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)． ∵cos x＋1≥0，
1
∴当cos x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
21
当cos x＞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
21
∴当cos x＝时，f(x)有最小值．
2
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)， ∴当sin x＝－
3
时，f(x)有最小值， 2
即f(x)min＝2×－33答案：－
2
??333??1?×?1＋2?＝－.
22?
2．(2016·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
a2
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
4
解：(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是 sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. a21a2
(2)由S＝得absin C＝，
424
11
故有sin Bsin C＝sin A＝ sin 2B＝sin Bcos B.
22因为 sin B≠0，所以 sin C＝cos B. π
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
2
ππ
当B＋C＝时，A＝；
22ππ
当C－B＝时，A＝.
24ππ
综上，A＝或A＝. 24
3．(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac. (1)求∠B的大小；
(2)求2cos A＋cos C的最大值． 解：(1)由余弦定理及题设得， a2＋c2－b22ac2
cos B＝＝＝.
2ac2ac2π
又因为0＜∠B＜π，所以∠B＝. 4(2)由(1)知∠A＋∠C＝
3π. 4
3π
－A? 则2cos A＋cos C＝2cos A＋cos??4?＝2cos A－＝
22cos A＋sin A 22
π22
A－?. cos A＋sin A＝cos??4?22
3π
， 4
因为0＜∠A＜π
所以当∠A＝时，2cos A＋cos C取得最大值1.
4
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