2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设a?2?3?2?3，则a?1的整数部分为（ ） aA．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B

【解答】由a2?2?3?22?3?2?3?2?3?6，知a?6。 于是a?111111?6?，(a?)2?6?2??8?，4?(a?)2?9。

a66aa61的整数部分为2。 a因此，a?（注：a?2?3?2?3?2．方程2x?(4?234?233?13?1????6） 2222x2)?3的所有实数根之和为（ ） x?2A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】 A 【解答】方程2x?(x2)?3化为2x(x?2)2?x2?3(x?2)2。 x?2即x3?5x2?10x?6?0，(x?1)(x2?4x?6)?0。 解得x?1。经检验x?1是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。

3．如图，A、B、C三点均在二次函数y?x2的图像上，M为线段AC的中点，BM∥y轴，且MB?2。设A、C两点的横坐标分别为t1、t2（t2?t1），则t2?t1的值为（ ）

A．3 B．23 C．?22 D．22 【答案】 D

2t1?t2t12?t2，)。 【解答】依题意线段AC的中点M的坐标为(22（第3题）

1

2t1?t2t12?t2，?2)。 由BM∥y轴，且BM?2，知B点坐标为(222t12?t2t?t?2?(12)2。 由点B在抛物线y?x上，知22222整理，得2t12?2t2，即(t2?t1)2?8。 ?8?t12?2t1t2?t2结合t2?t1，得t2?t1?22。

4．如图，在Rt△ABC中，?ABC?90?，D为线段BC的中点，E在线段AB内，CE与AD交于点F。若AE?EF，且AC?7，FC?3，则cos?ACB的值为（ ）

3321010A． B． C． D． 71477AEFC（第4题）

【答案】 B

【解答】如图，过B作BK∥AD与CE的延长线交于点K。 则由AE?EF可得，?EBK??EAF??AFE??BKE。 ∴ EK?EB。

又由D为BC中点，得F为KC中点。 ∴ AB?AE?EB?FE?EK?KF?FC?3。 ∴ BC?AC2?AB2?72?32?210。 ∴ cos?ACB?BDAKEFCBC210。 ?AC7或解：对直线AFD及△BCE应用梅涅劳斯定理得，

BDCFEA???1。 DCFEABBD由D为线段BC的中点，知BD?DC。 又AE?EF，因此，AB?CF?3。

结合AC?7，?ABC?90?，利用勾股定理得，BC?210。 所以，cos?ACB?

2

BC210?。 AC75．如图，O为△ABC的外接圆的圆心，R为外接圆半径，且R?4。直线AO、BO、CO分别交△ABC的边于D、E、F，则

111??ADBECF的值为（ ）

AFE1112A． B． C． D．

4323【答案】 C

【解答】由条件及等比定理，得

OOAS△OABS△OACS△OAB?S△OACS△OAB?S△OAC， ????ADS△ABDS△ACDS△ABD?S△ACDS△ABC同理，∴

BD（第5题）

COCS△OBC?S△OACOBS△OAB?S△OBC，。 ??CFS△ABCBES△ABCOAOBOC(S△OAB?S△OAC)?(S△OAB?S△OBC)?(S△OBC?S△OAC)????2。 ADBECFS△ABC又OA?OB?OC?R?4， ∴

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．记函数y?x2?2x?3（?1?x?2）的最大值为M，最小值为m，则M?m的值为 。

【答案】 8

【解答】∵ y?x2?2x?3?(x?1)2?2，?1?x?2，

∴ x?1时，y取最小值，即m?2；x??1时，y取最大值，即M?6。 ∴ M?m?8。

7．已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图像与x轴交于不同的两点A、B， C为二次函数图像的顶点，AB?2。若△ABC是边长为2的等边三角形，则a? 。

【答案】

11121????。 ADBECFR23

【解答】依题意ax2?bx?c?0有两个不同的实根，设为x1，x2，则AB?x1?x2?2。

bc∵ x1?x2??，x1x2?，

aab2cb2?4ac22?4b?4ac?4a∴ (x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?)?4??，即。 2aaa22 3

b2b2b2?c，??又由y?ax?bx?c?a(x?)?及a?0，知??c2a4a4a23，即b2?4ac?43a。

∴ 4a2?43a，a?3。

8．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，M为线段BC的中点，且

?BAD??DAM??M。若AAB?2，则△ABC内切圆的半径为 。

【答案】 3?1

DM1?。 MC2【解答】依题意，易知D为BM中点，又AM平分?DAC， ∴

ABCADMD1??。结合AD?DC，得?ACD?30?。 ACMC2DM（第8题）

∴ ?DAC?60?，?BAC?90?。 ∴ AC?23，BC?4。 ∴ △ABC内切圆半径为

9．若二次函数y?x2?(4a?3)x?3a（a?2?23?4?3?1。 22）的图像与直线y?2?x在y轴左侧恰有13个交点，则符合条件的所有a的值的和为 。

【答案】

29 12【解答】依题意，关于x的方程x2?(4a?3)x?3a?2?x，即x2?(4a?2)x?3a?2?0恰有1个负根或者两个相等的负根。

有下列三种情形：

（1）方程有两个相等的负根。

?△?(4a?2)2?4(3a?2)?032则?，解得a?1或a?。均满足a?。

43?x1?x2??(4a?2)?0因此，a?1，a?3符合要求。 4（2）方程两根中一根为零，另一根为负数。

?x1x2?3a?2?022则?，解得a?。满足a?。

33?x1?x2??(4a?2)?0 4

因此，a?2符合要求。 3（3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。 则x1x2?3a?2?0，解得a?22。不满足a?。 3332，。 43综合（1）、（2）、（3），得符合条件的a的值为1，因此，符合条件的所有a的值的和为1?

3229??。 431210．若正整数n恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在n的正因数中有7个连续整数，则正整数n的最小值为 。

【答案】 25200

【解答】∵ 任意连续7个正整数的乘积能被1?2?3?4?5?6?7整除， ∴ n的正因数中必定有22，3，5，7这四个数。 ∴ 正整数n具有形式：n?2?1?3?2?5?3?7?4。 ?L（?1，?2，?4为正整数，?3，?1?2）

由正整数n恰有90个正因数，知(?1?1)(?2?1)(?3?1)(?4?1)?k?90，其中k为正整数。 而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：90?2?3?3?5。 ∴ k?1，(?1?1)(?2?1)(?3?1)(?4?1)?90?2?3?3?5。

∴ n的最小值为24?32?52?7?25200，此时n有连续正因数1，2，3，4，5，6，7。

5

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分） 11．求方程x2?2017y2?2018x的正整数解。 【解答】方程化为x2?2018x?2017y2?0。

将方程视为x的方程，得△?20182?4?2017y2?4(10092?2017y2)为完全平方数。…………………… 5分

∴ 10092?2017y2为完全平方数。

设10092?2017y2?t2（t为非负整数），则10092?t2?2017y2。 ∴ (1009?t)(1009?t)?2017y2。 ∵ 2017为质数，

∴ 2017(1009?t)，或2017(1009?t)。…………………… 10分 又t为非负整数，且t?1009。

∴ t?1009，或t?1008。…………………… 15分 ∴ y?0（舍去），或y?1。

将y?1代入方程，得x2?2018x?2017?0，解得x?1，或x?1017。

?x?1?x?2017∴ 原方程的正整数解为?，或?。…………………… 20分

?y?1?y?1

6

12．如图，在等腰三角形ABC中，?ACB?90?，M是边AC的中点，D是边BC上一点，直线AD、BM交于点E，且ME?MA。求证：

（1）BE?CD； （2）

ACDE?。 ADDBCMEA（第12题）

DB【解答】（1）如图，连结CE。 由条件知，ME?MA?MC。 ∴ CE?AE。…………… 5分 ∵ ?ACB?90?， ∴ ?MAE??DCE。

∴ ?BED??AEM??MAE??DCE。 又?EBD??CBE， ∴ △BDE∽△BEC。

BEDE?∴ 。…………… 10分 BCECCMEABD又由CE?AD，AC?CD，知△CDE∽△ACE。

CDDE?∴ 。 ACCE由此可得，

BEDECDBECD???，即。 BCECACBCAC∵ BC?AC，

∴ BE?CD。…………… 15分

（2）由（1）CE?AD，AC?CD，知△CDE∽△ADC， ∴

CEAC?。 CDADDEEC?。 DBEB又由（1）△BDE∽△BEC，知

结合（1）中BE?CD，可得∴

ACCEECDE???。 ADCDEBDBACDE?。…………… 20分 ADDB7

?n??n??n??n?13．若存在正整数n，p（p?6）使得????????????3成立，其中

?2??4??6??p??x??x??x?，?x?为不超过x的最大整数。

（1）求p的最小值；

?n??n??n??n?（2）当p取最小值时，求使????????????3成立，且n?2017的正整数n?2??4??6??p?的个数。

?n?1?n?3?n?5?n?p?1【解答】（1）∵ 对任意正整数n，???，???，???，???。

224466pp????????…………………… 5分

?n??n??n?13525∴ 对任意正整数n，????????????。

?2??4??6?24612?n??n??n??n?∵ 存在正整数n，p（p?6）使得????????????3成立，

?2??4??6??p??n?2511∴ 存在正整数n，使得???3??。

1212?p?于是，

p?1?n?11????，p?12。 p?p?12?11??11??11??11?13511又n?11时，????????????????3，

24612????????24612∴ p的最小值为12。 …………………… 10分

?n??n??n??n?13511（2）p?12时，由3?????????????????3知

?2??4??6??p?24612?n?1?n?3?n?5?n?11???，???，???，???。 22446612????????12∴ n?12k?11（k为非负整数）。

∴ 当p取最小值12时，当且仅当n?12k?11（k为非负整数）时，

?n??n??n??n?????????????3成立。 …………………… 15分 ?2??4??6??12?由n?12k?11?2017知，k?167。

因此，符合条件的正整数n有168个。 …………………… 20分

8

14．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明：

（1）对任意正数a，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段； （2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；

（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形？ 【解答】（1）在平面内任作一个边长为a的等边△ABC。则△ABC的三个顶点A、B、

C中必有两点同色。

所以，存在两端点同色，且长为a的线段。

因此，对任意正数a，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段。

…………………………………………… 5分

（2）对任意正数a，如图，设A、D同色，且AD?a（由（1）知，A、D存在）。 以AD为直径作圆O，设ABCDEF为圆O的内接正六边形。

若B、C、E、F中存在一点与A、D同色，不妨设点B与A、D同色，则△ABD为直角三角形，其中

?ABD?90?，?ADB?30?，且三顶点同色。

FEA……………………… 10分

若B、C、E、F都与A、D异色，则B、C、E、

F四点同色.则△BCE为直角三角形，其中

OBCD?BCE?90?，?CEB?30?，且三顶点同色。

因此，无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形。……………… 15分 （3）由（2）知，对任意正数a，无论如何染色总存在斜边长为a，有一个内角为30?，且三个顶点同色的直角三角形。

当a?11338?20178?2017时，该三角形面积S??(a)?(a)???2017。

222833……………………………………… 20分

因此，无论如何染色，平面上总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形。

9