【解析】 5＝2＋1，9＝2＋1，17＝2＋1，33＝2＋1，归纳可得：x＝2＋1＝65. 【答案】 B
2.观察下列各式：7＝49，7＝343，7＝2 401，?，则7
2
3
4
2 016
23456
的末两位数字为( ) 【导学号：94210003】
A.01 C.07
5
6
B.43 D.49
【解析】 ∵7＝16 807，7＝117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故7
2 016
＝7
4×504
，故其末两位数字为01.
【答案】 A
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝( )
A.C.
2
2 （n＋1）2 2－1
n2
B.D.
2
n（n＋1）2 2n－1
1112
【解析】 可以通过Sn＝n·an(n≥2)分别代入n＝2，3，4，求得a2＝，a3＝，a4＝，
3610猜想an＝
2
.
n（n＋1）
【答案】 B
4.我们把1，4，9，16，25，?这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图1-1-6).
图1-1-6
则第n个正方形数是( ) A.n(n－1) C.n
2
B.n(n＋1) D.(n＋1)
2
2
【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n. 【答案】 C
5.如图1-1-7所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
9
图1-1-7
A.an＝3
n－1
n B.an＝3 D.an＝3
n－1
C.an＝3－2n
n＋2n－3
n－1
【解析】 ∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3【答案】 A 二、填空题 6.设f(x)＝＝________.
.
2x，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想xnx＋2
12×2222122
【解析】 x2＝f(x1)＝＝，x3＝f(x2)＝＝，x4＝f(x3)＝＝，∴xn＝. 1＋232415n＋1
＋222222
【答案】 ，， 345n＋1
7.根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于________. 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111.
【解析】 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111.
【答案】 1 111 111
8.如图1-1-8所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有
n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝______________，an＝
______________.
10
图1-1-8
【解析】 依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.
由n＝2，3，4，5，6时各图形的特点归纳得an＝3n－3(n≥2，n∈N＋). 【答案】 15 3n－3(n≥2，n∈N＋) 三、解答题
1
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，
SnS4，并猜想Sn的表达式.
【解】 当n＝1时，S1＝a1＝1； 1
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，
S2
1
∴S2＝－；
3
15
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
S333
∴S3＝－；
5
17
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
S455
∴S4＝－.
7
2n－3
猜想：Sn＝－(n∈N＋).
2n－110.已知f(x)＝
13＋3
x，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然
后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.
1113
【解】 由f(x)＝x，得f(0)＋f(1)＝0＋1＝，
3＋33＋33＋33
f(－1)＋f(2)＝f(－2)＋f(3)＝
13
＋＝， －12
3＋33＋3313＋＝. －23
3＋33＋33
1
1
11
归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x＋1)＝证明如下：
3. 3
f(－x)＋f(x＋1)＝
x1
＋x＋1＝＝ x＋x＋1x＋1＋x＋1
3＋33＋31＋3·33＋33＋33＋3
－x113
x13·3
x3·3＋13·3＋13
＝＝＝. x＋1x3＋33（1＋3·3）3
[能力提升]
1.(2016·西安期末检测)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A.n＋1 C.
B.2n
D.n＋n＋1
2
xn2＋n＋2
2
【解析】 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；??，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋?＋n)＝1＋【答案】 C
2.(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，?，则第57个数对是( )
【导学号：94210004】
A.(2，10) C.(3，5)
B.(10，2) D.(5，3)
n（n＋1）n2＋n＋2
2
＝2
个区域，选C.
【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律： (1，1)的和为2，共1个； (1，2)，(2，1)的和为3，共2个； (1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个； (1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个； (1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.
由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).
【答案】 A
3.如图1-1-9①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图1-1-9②，如此继续下去，得图1-1-9③，??，试用n表示出第n个图形的边数an＝________.
12
① ② ③
图1-1-9
【解析】 观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，?，故{an}是首项为3，公比为4的等比数列，故an－1
n＝3×4
.
【答案】 3×4
n－1
4.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin2
13°＋cos2
17°－sin 13°cos 17°； ②sin2
15°＋cos2
15°－sin 15°cos 15°； ③sin2
18°＋cos2
12°－sin 18°cos 12°； ④sin2
(－18°)＋cos2
48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2
(－25°)＋cos2
55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【解】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos2
15°－sin 15°cos 15°＝1－1132sin 30°＝1－4＝4. (2)三角恒等式为sin2α＋cos2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.
证明如下：
sin2
α＋cos2
(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2
α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2
－ sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋3234cosα＋2sin αcos α＋12312
4sinα－2sin αcos α－2sinα
＝34sin2α＋323
4cosα＝4.
13
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