12．4 13． a?4 14．2, 2
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I）
π312f()?2?(3??)?13223sinx?cosx)2………………2分
因为f(x)?2?(
…
? 2?(3sin2x?cos2x?23sinxcosx)?2?(1?2sin2x?3sin2x)……………4分
? 1?2sin2x?3sin2x?cos2x?3sin2x
………………6分
π= 2sin(2x?)6………………8分所以 f(x)的周
期为
T?2π2π??π|?|2………………9分 时，
π2π2x?[?,]33（II）当
?ππx?[?,]63x??，
ππ5π(2x?)?[?,]666
所以当
f(?)??16?6时，函数取得最小值
x?………………11分当
?6时，函数取得最
大值
f()?26?………………13分
16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
高三数学（文科）试题第9页（共15页）
所以该考场有10?0.25?40人………………2分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
40?(1?0.375?0.375?0.15?0.025)?40?0.075?3………………4分
（II）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
1?(40?0.2)?2?(40?0.1)?3?(40?0.375)?4?(40?0.25)?5?(40?0.075)?2.940………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A， 所以还有2人只有一个科目得分为A………………9分
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为
??{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，
丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件 ………………11分
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则中点，
所以BM?AC,即BD?AC………………1分
高三数学（文科）试题第10页（共15页）
P(B)?16. ………………13分
17.解：（I）证明：(I) 因为?ABC是正三角形，M是AC
又因为PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，
PA?BD………………2分
AC?A又PAI，所以BD?平面PAC………………4分
又PC?平面PAC，所以BD?PC………………5分 （Ⅱ）在正三角形ABC中，BM?23………………6分 在?ACD，因为M为AC中点，DM?AC，所以AD?CD
?CAD?30o23BM:MD?3:1………………8DM?，所以，，所以3分
所以BN:NP?BM:MD，所以MN//PD………………9分 又MN?平面PDC，PD?平面PDC，所 以MN//平面
PDC………………11分
（Ⅲ）假设直线l//CD，因为l?平面PAB， CD?平面PAB，所以CD//平面PAB………………12分 又CD?平面ABCD，平面PABI平面ABCD?AB，所以
CD//AB……………13分
这与CD与AB不平行，矛盾
所以直线l与直线CD不平行………………14分
18.解：（I）因为f'(x)?x当
k?42?k………………2分
，所以x21时，
f'(x)?x2?4，令
f'(x)?x2?4?0?2,x2??2
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x ?2 (??,?2) (?2,2) (2,??) 高三数学（文科）试题第11页（共15页）
f'(x)f(x) ? 0 极大值 ?] 0 极小值 ? ZZ………………4分
所以f(x)的单调递增区间是(??,?2)，(2,??)
单调递减区间是(?2,2)………………6分 （II）令因为当当
g(x)?f(x)?k，所以
g(x)只有一个零
点………………7分
g'(x)?f'(x)?x2?k
，所以
g(x)k?0时，
g(x)?x3只有一个零点
0 ………………8分
k?0时，
g(x)g'(x)?x2?k?0对x?R成立，
g(x)所以当
k?0单调递增，所以
g'(x)?f'(x)?x2?k?0只有一个零
x1?k点………………9分
时，令
，解得
或
x2??k……………10分
(k,??)?所以g'(x),g(x)随x的变化情况如下表：
x (??,?k) ?k (?k,k) k g'(x)g(x) ? 0 极大值 ?] 0 极小值 k)?0 ZZg(x)有且仅有一个零点等价于g(?………………11
高三数学（文科）试题第12页（共15页）
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