好题速递251题
设m,k为正整数,方程mx2?kx?2?0在区间?0,1?内有两个不同的根,则m?k的最小值是 .
解:mx2?kx?2?0?k?mx?2 x2的图象的x于是问题转化为直线y?k与打勾函数y?mx?两个交点的横坐标均在区间?0,1?内,于是22m?k?m?2 注意到m?2为整数,于是在区间22m,m?2上存在整数
k的充要条件为m?2?22m?1
??解得m?3?22 故m的最小值为6,而k的最小值为7,则m?k的最小值为13
好题速递252题
已知2x?y?1,求x?x2?y2的最小值是 .
m2?y2解法一:令x?x?y?m,则x?
2m22m2?y2?y?1,整理得y2?my?m?m2?0 因此2?2m故用判别式??m2?4m?m2?0,解得m?
??4 5
解法二:设x?rcos?,y?rsin?,条件转化为2rcos??rsin??1,即r?所求代数式转化为rcos??r?由此可有斜率角度求值域:
cos??1的最小值
2cos??sin?1
2cos??sin?2cos??sin?2cos??2?sin??2sin??25(视为单位圆上的点与??1,2?连线斜??2??,
cos??1cos??1cos??14率),则x?x2?y2?cos??14?
2cos??sin?5也可由三角函数角度求值域:
cos??142?m?msin???2m?1?cos??1?m2??2m?1??1?m?
2cos??sin?5评注:这里因为遇到x2?y2的结构,故三角换元设x?rcos?,y?rsin?。 解法三:数形结合
当x?0时,点P为2x?y?1上的一点,则x?x2?y2?PO?PH 如图,就是典型的“饮马问题”,点O关于直线2x?y?1的对称点4?42?Q?,?到y轴的距离为
5?55?当x?0时,点P为2x?y?1上的一点,则x?x2?y2?PO?PH 而PO?OH?OB?2PH?1?PH 于是PO?PH?1
好题速递253题
如图,直线m与平面?,垂足是O,正四面体ABCD的棱长为4,点C在平面?上运动,点B在直线m上运动,则点O到直线AD的距离的取值范围是 .
解:题意中是点O是定点,正四面体ABCD运动,但始终保持OB?OC不变
不妨反过来换位思考,将正四面体ABCD固定下来,让点O在以BC为直径的球面上运动,如图所示。
接下来可以得到点O到直线AD的距离的取值范围就是球心F到直线AD的距离EF减去球的半径与球心F到直线AD的距离加上球的半径之间,即?22?2,22?2?
??
好题速递254题
★已知a,b?R,对任意满足0?x?1的实数x,都有ax?b?1成立,则10a?7b?10a?7b的最大值是 .
解法一:显然10a?7b?10a?7b?max?20a,14b? 于是问题转化为求a,b的最大值
当x?0时,容易得到b?1,由图可知直线y?ax?b在0?x?1上的值域为??1,1?的子集,于是斜率a必然在??2,2?内,故a?2
从而当a?2,b??1时,原式取到最大值为40 解法二:绝对值不等式 因为f?0??b?1,f?1??a?b?1
故a??a?b??b?a?b?b?2,同解法一
练习:若对任意满足?1?x?1的实数x,都有
2ax?b?xc1?成立,则a的取值范围是 .
如图,易得?2?a?2
点评:本题就是将一次函数转变为二次函数,异曲同工。
好题速递255题
已知圆O:x2?y2?1为?ABC的外接圆,且tanA?2,若AO?xAB?yAC,则x?y的最大值为 .
解:如图,延长AO交边BC于点D,设AO??AD 则AD?1?AO?x?AB?y?AC x?y?1,从而x?y???AOAO?OD?1
1?OD由B,C,D三点共线可知
??显然当OD取最小值,即OD?BC时,x?y取得最大值,此时?ABC为等腰三角形,可得x?y?5?5 4
好题速递256题
已知非零向量a和b互相垂直,则a?b和a?2b的夹角余弦值的最小值是 .
a?b??a?2b???解:cos??a?b?a?2ba?2ba?b22222a?4b2
令a?x,b?y, 则cos??
x?2yx?yx?4y?x2?4xy?4y2x2?5xy?4y2?1?xyx2?5xy?4y2?1?122 ?9322好题速递257题
已知正数a,b满足a?b???10,则a?b的取值范围是 . 解:设a?b?t,则??10?t b9a?19?又因为?a?b?????1?9???16
ab?ab?1a9b1a9b即t?10?t??16,解得2?t?8
13当且仅当a?,b?时,a?b?2;当且仅当a?2,b?6时,a?b?8
22
好题速递258题
已知实数x,y?0,若x?2y?xy?2,则x?3y的最小值是 . 解法一:待定系数法 1?y?xy???x??,??0
2???1?y?????1?2?x?2y?xy?x?2y???x????1??x??2??y 2????2??2??1?1????待定系数法,令?1??:?2???1:3,解得??
2??3?2??故x?3y?解法二:
1291,当且仅当x?,y?时取得 777
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