一道课后习题的四种解法

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一道课后习题的四种解法

立体几何是每年高考的必考内容，题型较灵活为了培养学生思维的灵活性，题分析问题和解决问题的能力，最有效的方法是从一题多解上下功夫，而课本中大量的课后练习和习题是课本的重要组成部分。课后练习是课本知识点的及时应用，利用课后练习，教师可以得到学习情况的反馈信息。如何充分的利用这一资源是一个值得深思的问题，而通过对一道题的举一反三则更能加深理解，能够充分将知识融会贯通，做到真正把握问题的精髓，下面是对一道课后习题的多种解法：

例 已知α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ ，求证：l⊥γ

l 证法一：设α∩γ=a，β∩γ=b

在平面γ内取一点P，并过点P 分别作直线m⊥a，n⊥b（图1）。 β α ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β ∵α∩β=l，∴l?α且l?β

b ∴m⊥l且n⊥l，即l⊥m且l⊥n a γ n P m 又∵m∩n=P(事实上，若m和n为同一直线， 则由m⊥α，n⊥β知α∥β，这就与α∩β=l矛盾)

∴l⊥γ

此种方法比较容易被学生接受，但要注意辅助线的做法。 证法二：设α∩γ=a，β∩γ=b

在平面α内，作直线m⊥a，在平面β内，作直线n⊥b（图2） ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n ∵m?α，n?α∴ n∥α ∵α∩β=l，n?β，∴ n∥l ∵n⊥γ，∴l⊥γ

此种方法利用做垂直，证平行，注意叙述的逻辑顺序。 证法三：在直线l上任取一点P，过点P作直线l′⊥γ（图3）。

∵α∩β=l，∴l?α且l?β，P∈α且P∈β 又∴α⊥γ，β⊥γ，∴l′?α且l′?β，即l′为平面α,，β的公共线。 ∴l′与l重合，由l′⊥γ知l⊥γ

此种方法叫同一法，可以借助此题向学生讲一讲同一法， 比较简洁，非常适合做此类问题。 证法四：设α∩γ=a，β∩γ=b

假设直线l与平面γ不垂直

在直线l上任取一点P，在平面α内，过点P作直线l1⊥a， 在平面β内，过点P作直线l2⊥b（图4）。 ∵α⊥γ，β⊥γ ∴l1⊥γ且l2⊥γ，这就是说，过点P有两条直线l1，l2与平面 γ垂直，这就与过一点到一个平面的垂线有且只有一条矛盾。 ∴l⊥γ

此种方法是反证法，在解决立体几何的问题中比较常见。 评注 证明直线与平面的垂线常用下面四种方法：

图1 l α m a 图2

l α P β β n b γ γ 图3

l2 α P l l1 β γ 图4

（1） a⊥m，a⊥n，m，n相交，m，n?α?a⊥α （2） a∥b，a⊥α?b⊥β （3） α∥β，a⊥α?a⊥β

（4） α⊥β，α∩β=b，a?α，a⊥b?a⊥β

此外，证明直线与平面垂直还可用同一法或反证法。