【答案】10?23
【解析】由题意和图像易知BC=5，AD=7-4=3
当BE=4时（即F与A重合），EF=2，又因为l?AB且∠B=30°，所以AB=23，
因为当F与A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形AED′为正三角形，所以CD=2，故答案时10?23. 11．（2019?山东潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
．
【答案】
【解析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5）， ∴AB＝
＝3
，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小， 点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5）， 设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
13
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+当x＝0时，y＝
，
），
，
即点P的坐标为（0，
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1， ∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°， ∴点P到直线AB的距离是：（
﹣1）×sin45°＝
＝
，
∴△PAB的面积是：＝，
三、解答题
12.（2019?湖北省仙桃市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y． （1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ； （2）当PQ＝3
时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
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【答案】见解析。
【解析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ＝3点D的坐标．
（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．
当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6）， ∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，
∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100， ∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）． 故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）． （2）当PQ＝3
时，25t2﹣80t+100＝（3
）2，
时t的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出
整理，得：5t2﹣16t+11＝0， 解得：t1＝1，t2＝
．
（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示． ∵OC＝6，BC＝8， ∴OB＝∵BQ∥OP， ∴△BDQ∽△ODP， ∴
＝
＝
＝， ＝10．
∴OD＝6． ∵CB∥OA， ∴∠DOF＝∠OBC．
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在Rt△OBC中，sin∠OBC＝∴OF＝OD?cos∠OBC＝6×＝∴点D的坐标为（
，
），
＝＝，cos∠OBC＝＝＝， ，
，DF＝OD?sin∠OBC＝6×＝
∴经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值为×＝．
13．（2019?山东青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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